Question

みみ

数三積分の問題なのですが、なぜ3行目で常に〰︎︎または〰︎︎では無いと分かるのか理由を教えて頂きたいです。

数列の和の不等式の証明
重要 例題 232
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
1
1
log(n+1)<1+-
+ +...... +
<logn+1
3
指針 数列の和 1+ 1
1
+
2 3
解答
自然数
から
1
常に+1
1
k+1
k=1Jk
k≦x≦k+1のとき
に対して,
1
すなわち, 曲線 y= の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を
XC
証明する。
1
x
•k+1 dx
k
よって
Sa+¹ dx < 1/1/2
k
k
n
nk+1 dx
x
k=1
M
であるから
k+1
k
n-1k+1 dx
1
k+1]
1 1
k
k+1
または
(+) doo
S
xC
(+1dx
•k+idx
+......+
x
=log(n+1)
1 1
k
=
•k+¹ dx
k
x
k+1dx
dx < 1/2
k
21
=1k
4²0= logx
定積分の利用(面積比較)
ck+¹ dx
k
ではない
jk
log(n+1)<1+
1
は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借りる。
n
1n+1
©から
dx
f" d= [108x] "=1
1+1/²/2 + 1/²/3
基本229231 演習 236237
k=13k
→
この不等式の両辺に1を加えて
よって, ①② から n≧2のとき
n
y₁
1
+....
1
1
(2) 2√n+1-2<1+ √2+√3
y=
0 123.n\x
n-1n+1
k=1Jk
k=1k+1
=logn であるから
0 123･･･ n
n-1
1 <D
Ⅱ
式イ
1
n
nick+1 dx
式
1
1
2
1 1
1+ + +
2 3
log(n+1)<1+
+
+......+
1
3
+
+・
練習 次の不等式を証明せよ。 ただし、nは自然数とする。
(3 232
1
1
(1) + + + + + + + < 2-1 (n=2)
<2-
n²
n
++/²
n
1
n
1
+
2 3
1
k
+
YA
*@S² + S² •
-≤2√n-1
1
k+1
0 k
n+1
=S+
k+1'
で k=1,2 n と
して辺々を加える。
n
<logn+1
a+1dx
X
+・・・・・・+
k+1
として辺々を加える。
1
<logn
1
n
+...+
で k=1,2, ....... n-1
Ca+1
x
.... (2)
<logn+1
〔(2) お茶の水大]
p.362 EX207
361
7章
36
定積分と和の極限、 不等式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

kは自然数なので、xが自然数の場合にしか
曲線 : y=1/x と直線 : y = 1/k
もしくは
曲線 : y=1/x と直線 : y = 1/(k+1)
が交点を持たないので、
常に　
1/x = 1/k
もしくは
1/x = 1/(k+1)
とはならないよ
っと言っています。

わかりにくかったらすいません。