（2）の解答で、でなぜこの場合は、精講②『軸の動きうる範囲』と③『頂点のy座標の符号』は書かなくていいのですか？ 教えてください。

15 解の配置 2次方程式 2-2ax+4=0 が次の条件をみたすようなαの範 囲をそれぞれ定めよ. (1) 2解がともに1より大きい. _(2) 1つの解が1より大きく, 他の解が1より小さい。 (3) 2解がともに0と3の間にある. (4) 2解が0と2の間と24の間に1つずつある. 注 「異なる2解」 とかいていないときは重解の場合も含めて考えます. (2) f(x)=0 の1つの解が1より大きく、他の解 左 が1より小さいとき, y=f(x) のグラフは右図. y=f(x) IC 5 よって, f(1)=5-2a< 0 a> 注 この場合、精講②③は不要です。 (3) f(x)=0の2解がともに0と3の間にあると き, y=f(x) のグラフは右図. y=f(x) よって、 次の連立不等式が成立する. [f(0)=4>0 <精講① O 3 X f(3)=13-6a>0 <精講① 4-a2 0<a <3 <精講② 解の条件を使って係数の関係式を求めるときは, グラフを利用しま す。その際,グラフの次の部分に着目して解答をつくっていきます。 4-a²≤0 <精講③ 13 ② 軸の動きうる範囲 ①あるxの値に対するyの値の符号 ③頂点の座標 (または、判別式) の符号 のように, 方程式の解を空の よって,a< 12 かつ0<a<3 かつ a≦-2 または 2≦a」 下図の数直線より,2≦a< 20 13

写真の(2)の問題についてです (2)の問題文では｢任意の実数xに対して｣とあります。 そのため、a≠0の場合、a>0の時とa<0の時で場合分けをしてa>0の時はf(x)=0の場合のみ問題文を満たすと考えました(｢任意の実数xに対して｣とあることから)。 しかし、模範解... 続きを読む

(1) すべての実数xに対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 (2) 任意の実数x に対して,不等式 ax²-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定 数αの値の範囲を求めよ。 p.187 基本事項

解の存在範囲の問題です。手順1のD>0の時のaの範囲を求めるとき、単純に因数分解できなかったので解の公式を使って因数分解しようとしたらDの中身が負になってしまいました。解答の平方完成でDが常に正だと言うのはわかったのですが、解の公式で求めたaは何を表すのでしょうか。

基本 例題 128 2次方程式の解と数の大小 (1) ①①①① | 2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数αの値の範囲を求めよ。 [類 東北大 ] 基本 126 127 重要 130 2次方程式 f(x)=0 の解と数の大小については,y=f(x)のグラフとx軸の共有点の 位置関係を考えることで,基本例題126 127 で学習した方法が使える。 すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3a として 2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ ★ ⇔ 放物線y=f(x) がx軸の-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わる したがって D>0, -1< (軸の位置)<3,f(-1)≧0,f (3)≧0 で解決。 CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 この方程式の判別式をDとし, f (x)=x2-2(a+1)x+3a 3章 13 2次不等式 解答 とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は 直線x=α+1である。 THAHO de 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数指針」 解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の -1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。 すなわち、次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。 [1] D > 0 [2] 軸が-1<x<3の範囲にある [3] f(-1)≧0 [4] (3) 吹 の方針。 2次方程式についての問 題を, 2次関数のグラフ におき換えて考える。 よって, D>0は常に成り立つ。 ゆえに [1] D={-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+3 (*) (+)-(-1<()<3 [2] 軸x=α+1について −1<a+1<3 I+D)-SD(S)\ すなわち -2<a<2 [3] f(-1)≧0から ...... ①のと (−1)-2(a+1)(-1)+3a0 2つもつこと3 5a+30 すなわち a ≧ - 5 になり + Oa+1 3 21 x (一)(1+\2 この問題では, Dの符号, 軸の位置だけでなく,区 間の両端の値 f(-1), f (3) の符号についての 条件も必要となる。 YA [4] f(3) ≧0 からと32-2(a+1)・3+3a≧0 ゆえに3a+30 すなわち a≦1 ③ to) ① ② ③ の共通範囲を求めて -> -2 3 1 2 a 3 5 -≤a≤1 5 注意 [1]の(*)のように, αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。

⑴なのですがaの範囲を求めに行く過程で模範解答とは違って判別式を使ってときました。答えは合っているのですが考え方として合っているのか心配です。判別式で解いても問題ないのでしょうか。またこの答え方で減点なく丸が貰えますか。この二つ、よろしくお願いします。

演習 例題 131 2つの2次関数の大小関係 (1) 00000 2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25 がある。 次の条件が 成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つ。 基本115 f(x うな ((1) 指 指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考 えるのではなく,F(x)=f(x)-g(x) とし, f(x), g(x) の条件をF(x) の条件におき 換えて考える。 (1) y=f(x) y=F(x) (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) すべての実数xに対してF(x)>0 y=g(x)/ + (2) (2)ある実数xに対してf(x)<g(x) y=f(x) y=F(x) ⇔ある実数xに対してF(x) <0 大 このようにおき換えて, F(x) の最小値を 考えることでαの値の範囲を求める。 小 y=g(x) O [補足] 例題 115 で学んだように, 判別式D の符号に着目してもよい。 F(x)=f(x)-g(x) とすると 解答 F(x)=2x2ax+50=2(x-2) - 10/27 +5 - 0²- 50 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは, すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち [F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。 F(x)はx=1/2で最小値 a² 2 +50 をとるから a² - +50> 0 よって1012+5 - よって (a+10)(a-10)<0 ゆえに -10<a<10 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つことは, ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち [F(x)の最小値] <0 が成り立つことと同じである。 a² +50<0 晶検討 「ある xについて が成り立つ」と は よって a<-10, 10<a ゆえに (a+10)(a-10)>0 を満たす が少なくとも1つ あるということ である。 ④ 131 つような定数kの値の範囲を求めよ。 練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2, g(x)=3x2+4x+3がある。 次の条件が成り立 (1) すべての実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。

（2）で、最後の「xは任意の実数」の部分で、私は「xはすべての実数」だと思いました。何が違うのですか？ 教えてください。

例題 3-2 次の2次不等式を解け (1) 2x2+3x-3<0 1個 x 2 + x + 4≧0

黄色のマーカーを引いている部分で、なぜf(x)≧0である必要があるから、D≦0になるのでしょうか？ 質問の意味が分かりずらかったらすみません。⑵の解説をよろしくお願いします。

40 関数の極大 極小 A 114 関数 f(x)=x+kx+kx-1 について 次 の各場合における定数kの値の範囲を求めよ。 (1) 極値をもつとき (2)単調に増加するとき [解] f'(x) = 3x2+2kx+k (1) f(x) が極値をもつための必要十分条件は, f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつこと である。 よって、f'(x)=0 の判別式をDとおくと 1/2=k-3k=k(k-3)>0 したがって k < 0,3 <k (2) f(x) が単調に増加するための必要十分条 件は,すべての実数x に対して f'(x) ≧0 が 成り立つことである。 D よって =k-3k=k(k-30 4 したがって 0 ≤ k ≤3 天然

二次不等式が解けません この2枚目の自分のやり方がなぜダメなのか教えてください

187 基本事項 01 DO 重要 例題 1122次不等式の解法 (3) 191 次の不等式を解け。 ただし, αは定数とする。 (1) x²+(2-a)x-2a≤0 (2) ax²≤ax 基本110 文字係数になっても,2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺 = 0 の2次方程式を 指針 解く。 それには ① 因数分解の利用 ②解の公式利用 が、ここでは左辺を因数分解してみるとうまくいく。 の2通りある 2次方程式の解α,βがαの式になるときは,との大小関係で場合分けをしてグ ラフをかく。もしくは,次の公式を用いてもよい。 a<βのとき (x-a)(x-B)>0⇔x<a, B<x (xa)(x-B) <0⇔a<x<B (2)x2の係数に注意が必要。 a0a=0,α<0 で場合分け。 CHART (xa)(x-3)の解α, B の大小関係に注意 の場合、左 形に。 に。 -1< ●場合、左の コピー4+50円 ての実数 v>0 (1)x2+(2-α)x-2a≧0から 解答 [1] a<-2 のとき,①の解は a≤x≤-2 [2] a=-2 のとき,① は (x+2)'≤0 よって,解は x=-2 [3] -2<αのとき, ① の解は (x+2)(x-a)≤0 ① [2] [3] x x a a 0 -2 -2≤x≤a 以上から a<-2のとき a≦x≦2 2-4x+10 a=-2のとき 2<αのとき (2) ax≦ax から ax(x-1)≤0. ① 0>(8-)(1 x=-2 -2≦x≦a [1]a>0 のとき, ①から x(x-1)≤0 両辺を正の数αで ときy=l ときy> よって,解は 2010- [2] α=0 のとき,①は 0x(x-1)≦0 これはxがどんな値でも成り立つ。意 よって、は すべての実数 [3] a< 0 のとき, ①から +6 ・軸は共有 これと 下に っては x0,1≦x 以上から x(x-1)≥0 >0 すべて a>0 のとき 0≦x≦1; a = 0 のとき すべての実数; a<0 のとき x≦0, 1≦x 割る。 ( となる。 は 「< または = 」 の意味で, <とのどちらか一方 が成り立てば正しい。 ①の両辺を負の数αで 割る。 負の数で割るから、 不等号の向きが変わる。 注意 (2)について, ax≦ax の両辺をax で割って, x≦1としたら誤り。 なぜなら、 ax = 0 のときは両辺を割ることができないし, ax < 0 のときは不等号の向きが変わ るからである。

(2)について質問です。下線を引いているようになぜm+r+1/n≦1とm+r+1/n≧1で場合分けをするのですか？またその後に線を引いている(n-r)k+r(k+1)はどのようにして計算したら出てくるのかも分かりません💦どなたか教えてほしいです

第9章 整数・数学と人間の活動 40 よって、等式①は成り立つ。 (1)〜(曲)より、すべての実数xに対して, 等式①は成り 立つ。 [x]≦x<[x]+1 より [x] <x<[x]+1 n n [x] は整数であるから,[nx] は, nk, nk+1,nk+2, .........nktn-1 (kは整数)のいずれかで表される. [nx]=nk+r(r=0, 1, 2,…, n-1) kt1≦x<k+r+1 とすると,①より ......③ n n ここで,m=0,1,2, …………, n-1 として ③の各辺 に皿を加えると, n m+r m k+ ≦x+ m+r+1 <k+ n n n m+r+1 22 m+r k≦k+ n m n -≦1,すなわち,0≦m≦n-r-1 のとき, -≤ x + <h+ m+r+1 ≦k+1 n より[x+m-k =k n m+r,すなわち, n-r≧m≦n-1のとき, n m k+1≦k+m+rsxt. <k+ n m+r+1 <k+2 n n より,[x+m]=k+1 n したがって, [x]+[x+/-]+[x+2]+... + [x+ n-r n ] + [x x+ n-r n +x+ n. n =(n-r)k+r(k+1)=nk+r また②より よって、等式 [nx]=nktr [x]+[x+2]+[x+2]+....+[x+タリー[28] は成り立つ. 注 (1)において, m = 0, 1, 2 として ktmtr r≤x+. m m+r+1 <h+ のときの [x+7] 3 3 3 3 の他に着目すると, m+r+11 のとき [+] 3 mtr = 21のとき, [x+k+1 m =k r=0 のときは,これを満 すmの値はない。 kとなるのは, [x], n-r k+1となるのは、 n の(n-r) 個 [ x + 1 = 1 ] 0 n- の個

24(2)について質問です。 青線部はなぜ-1<a<0、0<a<1/3ではないのですか？

54 第2章 2次関数 55 標問 24 すべての(ある) に対して... 不等式 ax²+(a-1)x+a>0について, (1) すべての実数に対してこの不等式が成り立つような定数αの値の範囲 を求めよ. この6つのグラフを考えると, すべての実数 に対して ax2+bx+c > 0 となるのは, a>0, (D=) b2-4ac<0 のときであることが納得できるでしょう. 次に, ・解法のプロセス ar2+bx+c>0 (a≠0) となる実数ェが存在する。 > または 62-4ac>0 (2)この不等式を満たす実数が存在するような定数αの値の範囲を求めよ. (千葉工業大・ 改) ax2+bx+c>0 となる実数xが存在する 条件はどうでしょうか. 精講 2次不等式 ar²+bx+c>0 (α≠0) について考えることにします。 この2次不等式が すべての実数xに対して成 立する条件を調べてみましょう. 解法のプロセス 前の6つのグラフを見ると, α > 0 ならO.K. です.そして,a <0 でも、 (D=) 624ac0 な らO.K. です.つまり ◆グラフがx軸より上側の部分 に(も)あればよい すべての実数に対して ax2+bx+c>0 (a≠0) a0 または (D=) 62-4ac > 0 が条件となります。 ↓ a>0 かつ 6-4ac < 0 y=ax2+bx+c (a≠0) のグラフを利用して考 えるとわかりやすいです. 解答 すべての実数xに対して ax+bx+c>0 となるのは, y=ax2+bx+c のグラフがx軸より上に浮い ていることです. いいかえると, y=ax2+bx+c a>0 (a-1)2-4a²<0 下に凸で,軸と共有点をもたないこと, つま りα > 0 かつ (D=) 62-4ac < 0 が条件です。 αの符号, Dの符号によって, y=ax2+bx+c のグラフは次のようになります。 a>0 のとき (D=) b2-4ac>0 (D=) 63-4ac=0 (D=) b2-4ac <0 + + + ax2+(a-1)x+a>0 ......(*) (1) α=0 のとき (*)は-x>0 となり, これを満たすェは x < 0 である. 次に, α≠0 のときについて調べる. すべての実数に対して2次不等式 (*) が成り立つ条件は である. (α-1)^-4a²<0 より (a+1) (3α-1)>0 よってa<-1, 1/32 <a a>0であるから 1/18<a (2)(i) a=0 のとき, (*) を満たすxが存在する. (ii) α=0 のとき, (*) を満たす実数ェが存在する条件は a>0 または (α-1)^-4a²>0 である. (a-1)2-4a2>0より 1<a</1/23 -3a²-2α+1 <0 より, 3a²+2a-1>0 の係数が正またはD>0 ◆ェの係数が正かつ D<0 α < 0 のとき (D=) 62-4ac>0 (D=) 62-4ac=0 (D=) b2-4ac<0 よって, -1<a (ただし, a≠0) したがって, (i), (ii)より -1<a ◆α≠0 のときについて調べて いる © + ① 演習問題 24 すべての実数xについて, ar'+(a-1)x+α-1<0 が成り立つような αの値の範囲を求めよ. 第2章

この問題の、ある実数と考えるのがあまり意味分からないんですけど、1個でもf(x)≧g(x)が成り立つように計算すればいいということですか？？ 右のグラフも f(x)の最大値≧g(x)の最小値を考えているけど、全ての実数に成り立ちますよね?? ある実数が成り立つことは全ての... 続きを読む

である。 練習 2つの2次関数 f(x) =x2+2x+a2+14a-3,g(x)=x2+12x がある。 次の条件が成 132 り立つような定数αの値の範囲を求めよ。 ひの条件が絞り (1)−2≦x≦2 を満たすすべての実数x1, x2 に対して,f(x1) ≧g(x2) が成り立つ。 (2)−2≦x≦2を満たすある実数 x1, X2 に対して,f(x1)≧g(x2) が成り立つ。 p.220 EX94、