数学
高校生
解決済み
⑴なのですがaの範囲を求めに行く過程で模範解答とは違って判別式を使ってときました。答えは合っているのですが考え方として合っているのか心配です。判別式で解いても問題ないのでしょうか。またこの答え方で減点なく丸が貰えますか。この二つ、よろしくお願いします。
演習 例題 131 2つの2次関数の大小関係 (1)
00000
2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25 がある。 次の条件が
成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) が成り立つ。
(2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つ。
基本115
f(x
うな
((1)
指
指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考
えるのではなく,F(x)=f(x)-g(x) とし,
f(x), g(x) の条件をF(x) の条件におき
換えて考える。
(1)
y=f(x)
y=F(x)
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)
すべての実数xに対してF(x)>0
y=g(x)/
+
(2)
(2)ある実数xに対してf(x)<g(x)
y=f(x)
y=F(x)
⇔ある実数xに対してF(x) <0
大
このようにおき換えて, F(x) の最小値を
考えることでαの値の範囲を求める。
小
y=g(x)
O
[補足] 例題 115 で学んだように, 判別式D
の符号に着目してもよい。
F(x)=f(x)-g(x) とすると
解答
F(x)=2x2ax+50=2(x-2) - 10/27 +5
- 0²-
50
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは,
すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち
[F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。
F(x)はx=1/2で最小値
a²
2
+50 をとるから
a²
-
+50> 0
よって1012+5
-
よって (a+10)(a-10)<0 ゆえに -10<a<10
(2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つことは,
ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち
[F(x)の最小値] <0 が成り立つことと同じである。
a²
+50<0
晶検討
「ある xについて
が成り立つ」と
は
よって a<-10, 10<a
ゆえに (a+10)(a-10)>0
を満たす
が少なくとも1つ
あるということ
である。
④ 131 つような定数kの値の範囲を求めよ。
練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2, g(x)=3x2+4x+3がある。 次の条件が成り立
(1) すべての実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。
(2)ある実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。
131
f(x)=2+20x125
• g(x)=-x²+4021-25.
(1) f(x) >g()
2 & 4 Foo g(x) >0
•for-300)
=
x²+20x+25-(-x+40x(25)
=2x²-2x+5070
x2ax+2570
x2ax+25=0と1
・判別式をDとおくと
D=a-100
すべての実数に対して
2
x+25>が成り立つ
のはDOのときである。
したがってa2-100-0
azx100
-10<a<10
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