Question

😊

解の存在範囲の問題です。手順1のD>0の時のaの範囲を求めるとき、単純に因数分解できなかったので解の公式を使って因数分解しようとしたらDの中身が負になってしまいました。解答の平方完成でDが常に正だと言うのはわかったのですが、解の公式で求めたaは何を表すのでしょうか。

基本 例題
128 2次方程式の解と数の大小 (1)
①①①①
| 2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数αの値の範囲を求めよ。
[類 東北大 ]
基本 126 127 重要 130
2次方程式 f(x)=0 の解と数の大小については,y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
位置関係を考えることで,基本例題126 127 で学習した方法が使える。
すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3a として
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
★
⇔ 放物線y=f(x) がx軸の-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わる
したがって D>0, -1< (軸の位置)<3,f(-1)≧0,f (3)≧0 で解決。
CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
この方程式の判別式をDとし, f (x)=x2-2(a+1)x+3a
3章
13 2次不等式
解答
とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は
直線x=α+1である。
THAHO
de
方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数指針」
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の
-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。
すなわち、次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D > 0
[2] 軸が-1<x<3の範囲にある
[3] f(-1)≧0 [4] (3) 吹
の方針。
2次方程式についての問
題を, 2次関数のグラフ
におき換えて考える。
よって, D>0は常に成り立つ。
ゆえに
[1] D={-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+3
(*) (+)-(-1<()<3
[2] 軸x=α+1について −1<a+1<3 I+D)-SD(S)\
すなわち -2<a<2
[3] f(-1)≧0から
......
①のと
(−1)-2(a+1)(-1)+3a0
2つもつこと3
5a+30 すなわち a ≧ -
5
になり
+
Oa+1
3
21
x
(一)(1+\2
この問題では, Dの符号,
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値 f(-1),
f (3) の符号についての
条件も必要となる。
YA
[4] f(3) ≧0 からと32-2(a+1)・3+3a≧0
ゆえに3a+30
すなわち a≦1
③
to)
① ② ③ の共通範囲を求めて
->
-2 3
1
2
a
3
5
-≤a≤1
5
注意 [1]の(*)のように, αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

因数分解自体や、解の公式で求めた「方程式」の解自体
が目的ではありません

[1]の目的はD>0となるaの値の範囲を求めることです
つまりa²-a+1>0となるaの値の範囲を求めます
この目的を見失わないでください

いったんa²-a+1=0という「方程式」を解くのは問題ありません
ただ、それは不等式a²-a+1>0を解くための手段に過ぎません

a²-a+1=0の解はa=(1±√-3)/2です
「Dの中身が負」とありますが、正しくは
「D=0の解のaの√の中身が負」ですね
このaは指摘通り√の中身が負だから、実数ではありません

これは、放物線y=a²-a+1とa軸が
共有点をもたないことを示しています
（実数解aをもてば、そのaで放物線とa軸が共有点をもつ）
したがって、a²-a+1>0の解はすべての実数ということになります
要するに、「aがどんな実数でも、D>0は成り立つ」
ということです

😊

なるほどです！
記述してみたのですが、あってますか？

和

これでも満点をくれる可能性もありますが、
厳密には凸性を述べる必要があります

😊

本当に丁寧にありがとうございました！
完璧に理解できました！