この様な問題ではわざわざ書かないと求められないのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

166 第6章 順列組合せ 99 場合の数 (II) 301,302,303,310,320, 330 以上 21 個. 注 0を1つ含むものと, 0 を2つ含むものに分けて数えてもよい. 167 0, 1, 2, 3 と書かれたカードが2枚ずつ計8枚ある. この8枚のうち, 3枚を使って3桁の整数をつくるとき, 次の 問いに答えよ. を使わないものはいくつあるか. 1X(1) 1×2) を使うものはいくつあるか. 1X(3) 3桁の整数はいくつあるか. 精講 整数をつくるときに問題になるのは①を最高位 (=左端) において はいけないという点です. だから, (1), (2) でやっているように0を 使う場合と, ①を使わない場合に分けて考えます。 このように同時 に起こらないいくつかの場合に分けたとき, 全体の場合の数はそれらの場合の 数の和になります(これを, 和の法則といいます). ただし,各カードが1枚ずつであれば I のように計算で場合の数を求め ることができます。 解 答 (1) 1, 2, 3 が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって, 小さい 順に並べると, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 規則性をもって (< II) (3)(1),(2)より 24+21=45 (個) I (0, 1,2,3が各1枚ずつのとき) 参考 何でもよい • 0 以外 Ⅱi) ①を1つ含むものは 百の位は0以外の3通り. 十の位は百の位で使った数字以外の3通り 一の位は百の位, 十の位で使った数字以外 の2通り。 ∴.3×3×2=18 (個) 101, 102, 103, 110, 120, 130, 201, 202, 203, 210, 220, 230, 301,302, 303, 310, 320, 330の18個. i)を2つ含むものは 100, 200, 300の3個. よって, 18+3=21 (個) ポイント ・ 整数をつくるとき, 最高位に0がきてはいけない ・同時に起こることがないいくつかの場合に分けたと き 全体の場合の数はそれらの和になる 213, 221, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332 以上 24 個. (2)0, 1, 2, 3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって, 小さい順に並べると, 100, 101, 102, 103, 110, 120, 130, 200, 201,202, 203, 210, 220, 230, 300, 演習問題 99 規則性をもって 0, 1, 2, 3, 4 と書かれたカードが①は1枚, それ以外は2 枚ずつある. これらのカードから3枚を選び, それらを並べること によって3桁の整数をつくる. (1)を含まないものはいくつできるか. (2) ①を含むものはいくつできるか. (3)全部でいくつの整数ができるか.

常用対数 （ィ）が分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ どっからその数出てきたの?って感じです。 それも踏まえて回答いただけるとありがたいです😭よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

6 基本 例 191 最高位の数と一の位の数 0000 12® は桁の整数である。 また, その最高位の数は で,一の はである。 ただし, 10g102=0.3010, log103= 0.4771 とする。 指針 (ア)(イ) 正の数Nの桁数は logie N の整数部分, 最高位の数は10gio N の小数部分に注目。 なぜなら, Nの桁数をkとし, 最高位の数をα (αは整数, 1≦a≦9) とすると Na+1) ・10400... 0 0 がん1個) からα99.9 (9がk-1個)まで logio (a10-1)log10N <10g10(a+1)・10^-1} 各辺の常用対数をとる。 k-1+logioalogoN <k-1+log10(a+1) login (4・10=logioa+logait よって, logio N の整数部分をp, 小数部分をg とすると logioag <logio (a+1) p=k-1, 1 () 121, 122, 123, ・を計算してみて,一の位の数の規則性を見つける。 (ア) 10g 10 126=601ogio (223)=60(210g102+10g103) =60(2×0.3010+0.4771)=64.746 10g1012=6010g 12 12=22.3 解答 ゆえに 64<log10 1260<65 よって 10641260 1065 (イ)(ア)から したがって, 1260 は 65 桁の整数である。 log1012=64+0.746 ここで 10g105=1-10g102 =1-0.3010=0.6990 10g106=10g102+10g10 3 =0.3010+0.4771=0.7781 ゆえに すなわち よって 10g105 < 0.746 <10g106 5<100.7466 5・10641064.7466・1064 すなわち 5.106412606.1064 したがって, 126 の最高位の数は 5 (イ)の別解(ア)から 1260=104.746=10 10° <10.745 < 10'であるか ら, 1074 の整数部分が 126 の最高位の数である。 ここで, 10g105=0.6990 から 100.69905 |10g 10 6 0.7781 から 100.7781-6 100.6990100.74610 から 51007466 (ウ) 12', 122 123 124 125, よって、最高位の数は の一の位の数は,順に 2, 4, 8, 6, 2, 60=4×15 であるから, 126 の一の位の数は となり, 4つの数 2, 4, 8, 6 を順に繰り返す。 122 (mod10) である から12" の一の位の 6 は、2” の一の位の数と同 じ。 ③ 191 然数で,nの値はn=である。また, 8” の一の位の数はウで最高位 練習 自然数nが不等式 38 ≦10g10 8” <39 を満たすとする。 このとき,8"は桁の る。 数はである。 ただし, 10g102=0.3010, 10g103=0.4771, logio7=0.8451と (関西学院 p.312 EX

数列の等差×等比の和を求める問題なのですが、矢印の部分の展開してくくる方法が分かりません💦どこから2n-3はでてきてどのようにしてくくるとこのような式になるのですか？教えて欲しいです！

18 S=1・1+3・2+52 + 723 + •••••• + (2n-1)・2"-1 この等式の両辺に2を掛けると 2S= 1・2 + 3・22 + 5・23+ ...... + (2n-3)・2"-1+(2n-1)・2" 辺々引くと -S=1+2(2+2°+2°+...... +2"-1)-(2n-1)・2" 2(2"-1-1) よって -S=1+2・ -(2n-1)-2" 2-1 =-(2n-3)・2"-3 したがって S=(2n-3)・2"+3 ← 各項 ( 等差数 の形。 を計算 の公比

この問題なのですが、 解説を見ると条件のに当てはまる数を求める時に 法則などを用いらずに求めています。 こちら法則や公式などで求められないでしょうか。 もし可能ならばどうやるかも教えて頂きたいです。

礎問 150 第6章 順列組合せ 91 場合の数 (II) 0 1 2 3とかかれたカードが2枚ずつ計8枚ある。 この8枚のうち,3枚を使って3桁の整数をつくるとき,次の 問いに答えよ.ただし,同じ数字のカードは区別がつかないとする。 (1) 0 を使わないものはいくつあるか. (2) を使うものはいくつあるか. (3) 3桁の整数はいくつあるか. 精講 整数をつくるときに問題になるのは, ①を最高位 (=左端)におい てはいけないという点です. だから,(1),(2)でやっているように、 ①を使う場合と,①を使わない場合に分けて考えます.このように, 同時に起こらないいくつかの場合に分けたとき, 全体の場合の数はそれらの場 合の数の和になります(これを, 和の法則といいます)。 ただし,各カードが1枚ずつであれば,Iのように計算で場合の数を求 めることができます. 83-19 00 caxe (1)1,2,3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって 小さい順に並べると, 112, 113, 121,122,123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,221,223,231,232, 233, 311, 312, 313, 321, 322,323,331,332 以上 24 個. 20,1,2,3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって,小さい順に並べると, 100,101, 102, 103, 110, 120, 130, 200, 201, 202, 203, 210, 220, 230, 300, 規則性をもって 0 規則性をもって 合 [00

（3）、最初に 第n群のn個の分数の和が n って求めてるんだから、 最後の赤線のところは ＋20（第40群の個数が20だから）じゃなぜダメなんですか？ それなら最初に解説の1行目で求めてるnは何のためなんですか？🙇‍♂️

386 重要 例 24 群数列の応用 1 1 33 3' 4' 135 3 1 3 5 7 1 4'4'4'5 (1)は第何項か ...... 0000 について (2)この数列の第 800 項を求めよ、 ③ この数列の初項から第800項までの和を求めよ。 8 CHART & SOLUTION 群数列の応用 ① 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる ②第k群の最初の項や項数に注目 日本と 分母が変わるところで区切りを入れて群数列として考える。 (1), (2) は、 まず第何群に含ま れるかを考える。 (2)では,第800項が第n群に含まれるとして次のように不等式を立てる。 群 第1群 第2群 第3群 [個数 1個 2個 3個 第 (n-1)群第n群 (n-1)個 個 第800項はここに含まれる → ・第(n-1)群の末頃までの項数 <800≦ 第n群の末頃までの項数 (3)は,まず第n群のn個の分数の和を求める。 解答 (3分) 11 3 1 3 5 1 3 5 7 1 のように群に分ける。 (1)は第8群の3番目の項である。 第群の番目の項は 2m-1 n ① ←①でn=8, 2m-l=5 k-1 k+3=1/2・7・8+3=31 であるから 第31項 n-1 k=1 k=1 kは第7群までの項数 (2)第800項が第n群に含まれるとすると <800 第n群までの項数は よって (n-1)n<1600≦n(n+1) k=1 Zk k=1 39･40<1600≦40･41 から,これを満たす自然数nはn=401600=40°から判断。 1800-2k=800- 0-139-4020 であるから k=1 (3)第n群のn個の分数の和はΣ 39 40 n 2k-1' =- 1 n n ゆえに、求める和は Σk+ 3 5 139 + + k=1 40 ・+ 40 40 40 = 2 -39.40 + 11 402 • RACTICE 24 1 ・20(1+39)=790 の不等式を解くので はなく見当をつける。 ←①でn=40,m=20 k=1 (2k-1) =2.n(n+1)-n=n' 1から始まるn個の 数の和は。 これは覚 便利である。 C

｢n=k+1とおくと｣という部分が分かりません‪💧‬

思考プロセス 例題 274 2つの 初項1, 公差2の等差数列{a} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。 (2) 数列{a} {bm}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで (1) 数列{an}と{bm} の一般項をそれぞれ求めよ。 きる数列{cm} の一般項を求めよ。 (2) 未知のものを文字でおく da {a}の第1項と{bm} の第項が等しいとする。 ⇒21-1=3m-2 (l,mは自然数) 21-3m=1の自然数解 1次不定方程式 下 Action » 等差数列{an}, {bn} の共通項は,a=bmとして不定方程式を解け 解 (1) 数列{a} の一般項は an=1+(n-1)・2=2n-1 数列{6}の一般項は bn=1+(n-1)・3=3n-2 (2){a} の第1項と {bm} の第m項が等しいとすると,. a₁ = bm 21-1=3m-2より 2l-3m = -1 l=1,m=1はこれを満たすから 2(1-1)=3(m-1) ... ・① 21-3m=-1 2と3は互いに素であるから, l-1は3の倍数である。 2・13・11 よって, l-1 = 3k (kは整数) とおくと 2(1-1)-3(m-1)=0 l=3k+1 これを①に代入して整理すると m=2k+1 lmは自然数より k=0,1,2, ... nは自然数より, n=k+1 とおくと k=n-1- ゆえに,l=3n-2 (n=1,2,3, ...) であるから (別解 =2(3n-2)-1=6n-5 Cn=a3n-2 2つの等差数列の項を書き並べると {az}:1,3,5,7,9,11,13, {6}:1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, よって、求める数列{cm} は, 初項1の等差数列となる。 公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数 6である から 19, 15, 17, 19, ... 3k+1≧1 より k≧0 12k+1≧1より 20 nとんの対応は,不定 方程式 ①を解くときに いた整数 1, m の組によっ て変わる。 具体的に考える {an}, {bn} を具体的に書 き出して, 規則性を見つ る。 ける。 {cm}:1, 7, 13, 19, … Cn=1+(n-1)・6=6n-5

マーカー部分についてです。今回のように各カードが2枚ずつのとき計算ででできないのはなぜか教えて下さい。

基礎問 91 場合の数 (II) 10, 1,2,3とかかれたカードが2枚ずつ計8枚ある この8枚のうち,3枚を使って3桁の整数をつくるとき,次の 問いに答えよ.ただし,同じ数字のカードは区別がつかないとする。 (1)を使わないものはいくつあるか. (2) を使うものはいくつあるか. Q (3) 3桁の整数はいくつあるか. 精講 整数をつくるときに問題になるのは, ①を最高位(=左端)におい てはいけないという点です. だから, 1, 2)でやっているように, 0を使う場合と,①を使わない場合に分けて考えます。このように、 同時に起こらないいくつかの場合に分けたとき, 全体の場合の数はそれらの場 合の数の和になります(これを,和の法則といいます)。 () ただし,各カードが1枚ずつであれば、Iのように計算で場合の数を求 めることができます。 001 解答 136103 (1)1,2,3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって, 小さい順に並べると, 112, 113, 121,122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,221,223,231,232, 233,311,312,313,321, 322,323,331,332 規則性をもって 以上 24 個. 20,1,2,3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって, 小さい順に並べると, 100,101, 102, 103, 110, 規則性をもって 001 120,130, 200, 201, 202, 203, 210, 220, 230, 300, る

群数列の解き方が分からなくて、書いてあることもわからないので教えてください。 お願いします。

52 基本 29 群数列の基本 00000 奇数の数列を13, 57, 9, 1113, 15, 17, 1921. •••••• のように, 第n群が n個の数を含むように分けるとき [類 昭和薬大) (1) 第群の最初の奇数を求めよ。 (3) 301 は第何群の何番目に並ぶ数か。 (2)第n群の総和を求めよ。 P.43931 奇数で 2{1/(n-1)n+1}-1=㎥°-n+1 これはn=1のときも成り立つ。 (2) (1)より,第n群は初項n-n+1, 公差 2,項数nの等 差数列をなす。 よって, その総和は n(2-(n²-n+1)+(n-1)+2)=n' (3) 301 が第n群に含まれるとすると 指数を、ある規則によっていくつかの 群に分けて考えるとき、これを群 数列という。 もとの数列 n-n+1301<(n+1)-(n+1)+1 群数列では、次のように 規則性に注 目することが解法のポイントになる。 「区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 区切りをとると もとの数列の規 則がみえてくる 数列 よって n(n-1)300 (n+1)n ...... ① n(n-1) は単調に増加し, 17・16=272, 18・17=306 であ るから, ①を満たす自然数nは n=17 1から始まる奇数の番 目の奇数は2k-1 <1-1+1=1 n(2a+ (n-1)d) まず, 301 が属する群を 求める。 右辺は第 (n+1) 群の最初の数。 n(n-1)が「単調に増加 する」 とは,nの値が大 きくなると n(n-1)の 章 3種々の数列 ① もとの数列の規則、群の分け方の規則 [2] 第群について、その最初の頃, 項数などの規則 上の例題において,各群とそこに含まれている奇数の個数は次のようになる。 301が第17群の番目であるとすると (172-17+1)+(m-1)・2=301 これを解いて m=15 したがって, 301は第17群の15番目に並ぶ数である。 k=151 別解 (前半) 2k-1301 から 値も大きくなるというこ と。 ◄a+(m-1)d 21 第1回 第2回 第3 (n-1) 群 第1群 1 3,57, 9, 11 ......... | | .......... 個数 1個 2個 3個 (n-1) 公差2の 等差数列 よって, 301 はもとの数列において, 151番目の奇数であ る。 301が第n群に含まれるとすると (n-1) n(n (n-1)+1番目の奇数 1/21n(n-1)<151s1/2n(n+1) (1)の数に注目する。 第群に 個の数を含むから、 第 (n-1)群の末頃ま でに (1+2+3++(n-1)) 個の奇数が ある。 第1群 ① 第2群 35 1個 ゆえに n(n-1)<302≦n(n+1) 2個 これを満たす自然数 n は, 上の解答と同様にして <第1群から第群まで にある奇数の個数は k(k+1) よって、第群の最初の頃は、奇数の数列 1.3.5の 第3群 7. 9. 11 第4群 13 15 17 19 第5群 21. 3個 4個 (1+2+3+....+ (n-1)+1) 番目の項で ある。 T {(1+2+3+4)+1} 番目 右のように、初めのいくつかの群で実験をしてみるのも有効である。 (2)第群を1つの数列として考えると, 求める総和は、初項が(1)で求めた奇数, 公 差が2項数nの等差数列の和となる。 (3) 体的な数を代入して目安をつけるとよい。 とし, まずa 301 <a +」 となるn を見つける。n に具 の最初の項を CHART 群数列 ① 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる [2] 第群の初項・項数に注目 解答 1+2+3+......+(n-1)= 5,22という条件が (1) 22 のとき 第1群から第 (n-1) 群までにある奇数 第 (n-1) 群を考えるか つく。 の個数は 0-1/2(n-1)n よって、第群の最初の奇数は 1/2 (n-1)n+1} 番目の「+1」を忘れるな! n=17 基本例題29の結果を利用しての公式を導く 基本例題 29において, 第n群までのすべての奇数の和は, 解答 (2) の結果を利用すると 検討 1+2+3+....+= 2 一方,第n群の最後の奇数を, 第 (n+1) 群の最初の項を利用して求めると {(n+1)-(n+1)+1}-2=n+n-1 また、もとの数列の第群までの項の数は 1+2+3+…+n= 1/12n (n+1) ゆえに,第n群までのすべての奇数の和は 11/12/12m(n+1)(1+(n-1)=1/27(n+1)} したがって,{/12n(n+1)}' を導くことができる。 練習第群がn個の数を含む群数列 291|23|3454, 5, 6, 75, 6, 7, 8, 96, について (1) 第n群の総和を求めよ。 (2)初めて99 が現れるのは,第何群の何番目か。 ( 類 東京薬大〕 (3)最初の頃から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また, その数を求めよ。

この問題の解説が分かりません。 質問の仕方がうまく思いつかなくて紙に書きました。 見にくいかもしれませんが教えて頂きたいです🙇‍♀️

Think 例題 B1.37 漸化式 an+1=fa **** a=1, (n+3)an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 am を求めよ. 解答 -1 漸化式は an+1=- 考え方 n -α n+3 5am と変形できて、f(n)=- n とおくと an+1=f(n)am となる. ここで, n+3 衣大 an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)=f(n)f(n-1) (fn-2annel これをくり返すと、 an+1=f(n)f(n-1)f(n-2)......f (1)ai 解答 -2 漸化式の両辺に (n+2)(n+1) を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1= (n+2) (n+1)na, となる. 第8 b=(n+2)(n+1)na, とおくと, この式は bm+1= b となる. n 0 解答 -1 漸化式を変形して、 n an+1= an ......1 n+3 このとき, a2=1+30 1 1 a1 = 4 2 2 1 1-28 低いるた た 山 を考える I a3= a2 a 2+3 2+31 +3 100 n≧4 のとき, ①をくり返し用いると, 30 n-1.n-2.n-3.n-4 n an= n+2n+1 n n-T 4321 7634 a1 an- 21) (I-.d) 3 2 1 6 • = n+2 n+1n n(n+1)(n+2) -1= この式は n=1,2,3のときも成り立つ. 6 よって an= n(n+1)(n+2) であり - = n-1 n+2 分が同じ形に -an-1 n-1 n-2 n+2n+1 -an-2 a=1st (p. Bl

(1)(2)の問題は計算をして求めることは出来ないのですか？教えてください。

150 第6章 順列組合せ 基礎問 91 場合の数 (II) 0, 1, 2, 3とかかれたカードが2枚ずつ計8枚ある この8枚のうち, 3枚を使って3桁の整数をつくるとき,次の 問いに答えよ. ただし, 同じ数字のカードは区別がつかないとする (1) □ を使わないものはいくつあるか. (2) を使うものはいくつあるか. (3) 3桁の整数はいくつあるか. |精講 整数をつくるときに問題になるのは,を最高位 (左端)におい てはいけないという点です。だから,(1),(2)でやっているように、 ①を使う場合と,を使わない場合に分けて考えます.このように、 同時に起こらないいくつかの場合に分けたとき, 全体の場合の数はそれらの場 合の数の和になります(これを,和の法則といいます)。 ただし,各カードが1枚ずつであれば,I のように計算で場合の数を求 めることができます.に数え上げ 001 解答 (1)1,2,3が各2枚ずつあるので,3桁の整数をつくって, 小さい順に並べると, 112, 113, 121,122,123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,221,223,231,232, 233, 311, 312, 313, 321, 322,323,331,332 以上 24 個 . (2),1,2,3が各2枚ずつあるので, 3桁の整数をつくって,小さい順に並べると, 100, 101, 102, 103, 110, 120,130, 200, 201, 202, 203, 210, 220, 230, 300, 規則性をもって 規則性をもって