⑴と⑵は分かるのですが、⑶は解説を読んでも理解できませんでした。噛み砕いて説明していただける方いたら教えてください！！！！

4m2以上の自然数とする。 袋の中に0からnまでの整数が書かれたカードが1 枚ずつ合計(n+1)枚入っている。 この袋の中をよくかき混ぜて1枚のカードを取り出 し,そのカードに書かれた数を確認し,もとに戻す。 再びよくかき混ぜて、 もう1回, 1枚のカードを取り出し, そのカードに書かれた数を確認する。 1回目に確認した数をaとし、 2回目に確認した数をbとする。 b (1) n=3とする。 singfr=sin 1/32™ となる確率を求めよ。 b (2)n=4 とする。 sin fr=sin 1/21 となる確率を求めよ。 4 (3) sin=sin- n n a となる確率を求めよ。 b (4) sinsin πとなる確率を求めよ。 n n

0が含むか否かはどういう基準ですか？

318 基本例題188 関数のグラフの概形 (2) ･･･ 対称性に注目 ①①0 関数 y=4cosx+cos 2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。 基本 187 指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値､凹心 と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注 目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。 f(-x)= f(x) が成り立つ (偶関数) グラフは f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数) 解答 ① y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸 に関して対称である。 この問題の関数は偶関数であり,y'=0, y" =0の解の数がやや多くなるから、 の範囲で増減凹凸を副べて表にまとめ, 0x2におけるグラフをy軸に関して に折り返したものを利用する。 =–4sinx(cosx+1) =–4(cosx+1)(2cosx−1) 0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 または y' 3" y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx 2倍角の公式。 y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)} 20 : cosx+1=0から x=π y" =0 となるxの値は, cosx+1=0 または2cosx-1=0から(*)の式で, CoSx+120 5 に注意。 sinx, 2cosx-1 の符号に注目。 (E よって, 0≦x≦2におけるyの増減, 凹凸は,次の表のようになる。 (*) - x= お π 3 π " 3 0 3 2 18 +1 π, ↑ π 0 20 3 -3 π *** ++ 軸対称 グラフは原点対称 |53+0 32 π 3″ : y 5 ゆえに, グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。 +0 [参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると よって, f(x) は2πを周期とする周期関数である。 C 5 ◄cos (- (数学ⅡI) 2π 7 (OR) (200 (2)y= 重要 189,190 y=-4sinx-2sin2xを 微分。 - -2π 5 ミル = COS π 3 YA 15 3 f(x+2)=f(x) この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。 ←数学Ⅱ 参照。 70 -3π sink Xの 練習 次の関数のグラフの概形をかけ。 ただし, (2) ではグラフの凹凸は調べなくてよい。 188 (1) y=er-¹ (-1<x<1) ex sin 3x-2 sin 2x+sinx (-75x5) [(1) 横浜国大〕 Op.325 EX161 重要 方程式 指針陰 中 1²2 解答 方程式で は成り立 よって, 8-x²MC 0<x<2. y' = √ y=2 y'=0と また、C 0≤x≤ なる。 よって [ 参考 した 練習 189

このようにsinやcosの足し引きされた関数は必ず周期性2πになりますか？ならないら具体例的な関数を教えていただきたいです。

8 基本例題 188 関数のグラフの概形 (2) ･ 対称性に注目 関数 y=4cosx+cos2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。 基本 187 解答 y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸 に関して対称である。 指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値,凹凸 と変曲点 座標軸との共有点, 漸近線などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注 目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。 f(x)= f(x) が成り立つ (偶関数)⇒グラフはy軸対称 f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数) グラフは原点対称 この問題の関数は偶関数であり, y = 0, y=0 の解の数がやや多くなるから, 0≦x≦2 の範囲で増減・凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2におけるグラフをy軸に関して対称 に折り返したものを利用する。 y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2･2sinxcOS x =–4sinx(cosx+1) y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos²x-1)} =–4(cosx+1)(2cosx−1) 0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 または COSx+1=0 から x=π y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0から 5 π 3" 8 0 x= : π 3 - π 3 よって, 0≦x≦2におけるyの増減,凹凸は,次の表のようになる。 (*) 0 3 2 1 う + π, ↑ R olo ... ++ |5|3| -3 ↑ π + : 1+ 2π ↑ 00000 ◄cos (- = COS 重要 189, 190 2倍角の公式。 (数学ⅡI) y=-4sinx-2sin2xを 微分。 (*)の式で, cosx+1≧0 に注意。 sinx, 2cosx-1 の符号に注目。 0 3 y 5 5 2 ゆえに,グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。 [参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると f(x+2)=f(x) よって, f(x) は2πを周期とする周期関数である。 ←数学ⅡⅠ 参照。 この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。 -27 37 π yA 15 3-2 T 3

数Ⅲ 積分　面積 紫のマーカーを引いた部分の値ってどうやったら出ますか？

S=(x2 0, y0の部分の面積) ×4 よって、曲線()はx軸に関しても, y軸に関しても対称で 心をーッに置き換えても, ① と一致 r20, y20 の部分で考える。 | Action》 陰関数で表された図形は, 対称性がないか考えよ 268 陰関数で表された図形の面積(1) 線y=Dxーx"…① で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 [頭田 対防性の利用 ッともに偶数乗であるから …あ Gのはy軸に関して対称 (一x,9)(x,9) Gのはx軸に関して対称 のをy=(xの式)にして積分を利用 40においてxを一xに 19 置き換えると 曲線のはx軸に関しても,y軸に関しても対称で ある。 20, y20 のとき,①は y°= x(1-x)より ア=x1- ア=(-x)-(-x) すなわち y=x-と なり0と一致する。 2 y= |x\\1- =x1- 1-20より 0SxS1 y=0 とおくと, x20 にお いて x= 0, 1 区間 0<xS1 で y20 で あるから,曲線のの対称性よ り,求める面積S は V4 y=xーx 21x ッ=x/1- (0S×ハ) とx軸で囲まれる図形 1 S=4| x1-x dx 216 の面積を4倍すればよい。 41-x°=t と置換しても よい。 =4 ー)'dx x||0→ 1 1 t|1→ 0 2x 2 dx dt 2 -2 4 0° 3 より S=-2|E dt int 対称性の利用 6章 う-A

441の(2)番のグラフの書き方がわからないです。 その後くくってからどうするのかもわからないです…

弟8章 積分法の応用 2つの曲線 y=f(x), y=g(x)および2直線x=a, x=b で囲まれた部分の面積S 1. 曲線 y=f(x) とx軸および2直線 x3a, x=b で囲まれた部分の面積S 第8章 積分法の応用 1面 積 1 面 積 aく6, c<d とする。 S(x) dx, 「(x)S0 ならば S=-\(x) dx f(x)20 ならば S= 2. f(x)2g(x) ならば S=\(x)-g(x)} dx 3. 曲線 x=g(y)とy軸および2直線 y=c, y=d で囲まれた部分の面積s 9()20 ならば S=o()d 4. 面積の計算で留意すべき点 グラフをかいて,曲線と座標軸, 曲線と曲線の共有点や位置関係を明確にする。 2 グラフの対称性を利用すると, 計算が楽になることがある。 (2 面積(曲線が媒介変数で表されている場合) 曲線x=f(1), y=g(t) とx軸および2直線 x=a, x=b で囲まれた部分の面積Sは、 a=f(a), b-f(B) とすると S=ldr=Slog()\F()di eocea s=ldx=So(()d STEP<A> 441 次の曲線や直線およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 1 x=e, x=e3 x (2) y=x, x=1, x=2 *(3) y=tanx (0Sx), x= *14) y=log(x-1), x=2, x=e+1 (5) y=e*, x=0, x=1

二次関数 (3)x=2まで考えてるのはx=3を考えると、x=1のときと同じ条件になるからですか？？ また二次関数の左側を考えていないのは対称性より、右側が正なら左側も正になるからですか？、

28 $3 2次関数 **21 [12分) がラてかed ★*22 (121 aを定数とし,2次関数 aを実 リ=ー(2a-2)r-2a+9 のグラフをGとする。Gは頂点の座標が のグラフ ア イ+| ウ (1) Gは 4- の放物線である。 (マ- (Q-) 2 24-1 (1) Gが点(7, 8)を通るのはa= のときである。 である 対杯、 だせる! a-1 (2) 0S. (2) aの値によらず,Gはつねに点P オカ キ を通る。また, y座標が キ であるG上の点はPと ク24a-|ケ キ である。 (3) a>0 とする。 ①においてすべでの実数rに対してy>0となるのは 軸いセーa1つ最も追い整数えに ケイn 4706t73せま。 0<aく サ2 である のときであり,すべての整数rに対して>0となるのは a7049a-17-1ょり、 ト (4 シス イ また 0<a<- 62 35 14 54 セ ー10-1 のときである。 Hト -1 01 2 のとき 合-2レ-4)a-08- 49-7(20-2) -2a+) 考よて3から、 16a: 4C -(xャ2えキ9)H(-2オー2) DV | -2+7 23 a - 2 +1 8 -244 2a-lを *-ス42メ+9に 16a: 64 1センオればok! また -2-2 -0 X>ー1 0- 4 0-スニ(20-3)作+1) 6 8>a 9-9(20-21-24+ - -8at 2470 a<

微分 f(x)の3次の係数がマイナスの場合でもこのグラフと同じ正負で考えて大丈夫でしょうか？？

ここでは、もう少し詳しく考えてみよう. の符号はともに正より, y=f(x) は x30 で確かに極値をもたない。 2x=a の前後でf'(x) の符号が変化する」が成り立つことであった。 F(x)=3x* より, f'(x)=0 の解は重解 x=0 であるが, x=0 の前後でf(x) 関数 y=f(x) が x=a で極値をもつための条件は, 「① f(a)=0 かつ 例題206 では, 3次関数が極値をもつ場合ともたない場合について考えた。 実際、2が成り立たず極値をもたない簡単な例として f(x)=x° がある。 この状況を y=f(x)=x°, y=f(x)=3x* のグラフで表すと, 次のようになる。 こんの phaumn f(x)とず(x)の関係」 工業大) a 0 「x<0 でf(x)>0→f(x) は単調増加 |=0 でf'(x)=0→接線の傾き0 |x>0 でf(x)>0→f(x) は単調増加 このグラフを簡略化して表したものが「増減表」であ る。この2つのグラフからもわかるように, 一般に, 3 次関数 ソ=f(x)==ax°+bx?+cx+d (a>0) と, その導関数 y= f'(x)=3ax°+2bx+c の関係は次のよ うになっている。 これは 4 ソ=f(x)=x° 重解をも らたない である 0 4ソ=f(x)=3x° ある 変化 (i) 単調 単調単調 増加 減少 増加y=f(x) 単調増加 () 単調増加 ソ={(x) →y=f(x) =0 ※6g PR P ーる。 接線の 傾きは0 M 30 B x 10 =a x ソ=f(x) がすべての実数に おいて単調増加 →y=f(x) がx軸と共 有点をもたない (つねに y=f(x)>0) →2次方程式 F(x)=0 が実数解をもたない よって, 判別式D<0 10=X y=f(x) がx=α, B で 極値をもつ →y=f(x) が x=α, Bでx軸と2 点で交わる →2次方程式 f'(x)=0 が異なる2つの実数 解をもつ よって,判別式 D>0 注》(i)~面において, 政物線 y=f(x) の軸 (i)では x="ナB (i), (面は x=a]を填に。 ソ=f(x) がxキαのすべて の実数において単調増加で, x=α で接線の傾きが0と なる → y=f'(x)がx=α でx軸と接する →2次方程式 f'(x)=0 が重解(α)をもつ よって, 判別式 D=0 2 グラフの「変曲点」と呼び, すべての3次関数のグラフはこの変曲点に関して点対称にな ニている。これは放物線の軸に関する対称性からも予想がつくであろう.

組み合わせの問題です。 83のイ、ウ、エの解き方を教えてください。

25 1人, サ2人となるような選び方は何通りあるか。 (2) 女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りあるか。 [06 流通経大) 83 15分 Complete 84 15分 83 正十二角形の 12個の頂点から3点を選び, その3点を結んで三角形を作 る。三角形は全部で 口個できる。それらのうち (1) 正三角形は 口個である。 v(2) 直角三角形は 口個である。 v(3) 二等辺三角形は 口個である。ただし,正三角形も二等辺三角形と考 える。 [16 近畿大) A *84 6人の生徒を, 次のように分ける方法について (1) 2人ずつ A組, B組, C組に分ける方法は何通りあるか。 (2) 2人ずつ3つのグループに分ける方法は何通りあるか。 (3) 3人ずつ2つのグループに分ける方法は何通りあるか。 (4) 3人,2人,1人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。 [06 東京農大)

x→0のときにyのリミットが−∞になるのはどうしてですか？分母の最高次で割ったらゼロになってしまいました💧

Practice 18 x-1 関数 y=ー の増減やグラフの凹凸などを調べ,グラフの概形をかけ。 x? 2 [06 弘前大)

重問文系の142です！ 解答の二枚目の波線部分がどこから来ているのかわからないです 教えてください！

必解142.<3次曲線の対称性〉 f(x)= 2x°+3x?ーx+1 とする。 (1) 関数 y=f(x) は x=α で極大値, x=β で極小値をとる。α, βを求めよ。 また,2点(α, f(α)), (B, f(B)) を結ぶ線分の中点Pが曲線 y=f(x)上にあること を示せ。 (2))点Pに関して平面上の点(x, y) と対称となる点の座標をx, yで表せ。 (3) 関数 y= f(x) のグラフは点Pに関して点対称であることを示せ。ただし, 一般 に曲線Cが点Pに関して点対称であるとは, 点QがC上にあるとき, 点Qの点Pに 関して対称である点RもC上にあることである。 [名古屋市大·経 改)