Question

シャイニ－

0が含むか否かはどういう基準ですか？

318
基本例題188 関数のグラフの概形 (2) ･･･ 対称性に注目 ①①0
関数 y=4cosx+cos 2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。
基本 187
指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値､凹心
と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注
目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(-x)= f(x) が成り立つ (偶関数) グラフは
f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数)
解答
① y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸
に関して対称である。
この問題の関数は偶関数であり,y'=0, y" =0の解の数がやや多くなるから、
の範囲で増減凹凸を副べて表にまとめ, 0x2におけるグラフをy軸に関して
に折り返したものを利用する。
=–4sinx(cosx+1)
=–4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 または
y'
3"
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx 2倍角の公式。
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)}
20
:
cosx+1=0から
x=π
y" =0 となるxの値は, cosx+1=0 または2cosx-1=0から(*)の式で, CoSx+120
5
に注意。 sinx, 2cosx-1
の符号に注目。
(E
よって, 0≦x≦2におけるyの増減, 凹凸は,次の表のようになる。 (*)
-
x=
お
π
3
π
"
3
0
3
2
18
+1
π,
↑
π
0
20
3
-3
π
***
++
軸対称
グラフは原点対称
|53+0 32
π
3″
:
y 5
ゆえに, グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。
+0
[参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると
よって, f(x) は2πを周期とする周期関数である。
C 5
◄cos (-
(数学ⅡI)
2π
7 (OR) (200
(2)y=
重要 189,190
y=-4sinx-2sin2xを
微分。
-
-2π
5
ミル
= COS
π
3
YA
15
3
f(x+2)=f(x)
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
←数学Ⅱ 参照。
70
-3π
sink Xの
練習
次の関数のグラフの概形をかけ。 ただし, (2) ではグラフの凹凸は調べなくてよい。
188 (1) y=er-¹ (-1<x<1)
ex
sin 3x-2 sin 2x+sinx (-75x5)
[(1) 横浜国大〕 Op.325 EX161
重要
方程式
指針陰
中
1²2
解答
方程式で
は成り立
よって,
8-x²MC
0<x<2.
y' = √
y=2
y'=0と
また、C
0≤x≤
なる。
よって
[
参考
した
練習
189

00000
(類 中部大)
pp.298 基本事項 [1)
4 参照)。
三域を確認。
(分母) 0
を下げて,yの
する。
+3)²>0
10
-9
f(x)は
るから,
例題
次の関数の極値を求めよ。
y=(x²-3) e-x
y=x/√x+3
20
(3)
176 関数の極値 (1)
謝>関数の極値を求めるには, 次の手順で増減表をかいて判断する。 ・・・・・・・・・
明らかな場合は省略してよい。
② 導関数yを求め, 方程式y'=0 の実数解を求める。
① 定義域, 微分可能性を確認する。
y'=0となるxの値やy' が存在しないxの値の前後でy'の符号の変化を調べ、
増減表を作り, 極値を求める。
CHARI 関数の極値'の符号を調べる 増減表の作成
y'=2xex+(x2-3)(-e-x)=-(x+1)(x-3)e-x
y=0 とすると
-1,3
x=
増減表は右のようになる。
よってx=3で極大値
y
6
e³,
x=-1で極小値-2c
8
2cosx-1=0から x=
0
1
3'3
よって, 増減表は次のようになる。
y=-2sinx+2sin2x=-2sinx+4sinxcosx
=2sinx (2cosx-1)
0≦x≦2の範囲でy'=0を解くと
sinx=0から x=0, π, 2π
π
+
3053-2
|極大
π
✓
[類 甲南大] (2) y=2cosx-cos 2x (0≦x≦)
p.298 299 基本事項 2. 3. 基本 175
π
ゆえに,x>0 では常に
0
y
極小
-3
53
...
+
...
>
基本
π
5
3
-1
3
20 + 0
極小
- 2e
したがってx=17.08.01930で極大値212
5
3) 定義域はx≧-3である。
π
0
|極大|
3
2
ﾐ
>
1
y=√x+3+2x+3=2√x+3
y'>0
極大
6
2π
1
;x=πで極小値-3
のとき, y=x√x+3 であるから, x>0 では
3(x+2)
000
-
(1) 定義域は実数全体であり、
定義域全体で微分可能。
yA
√3
-3
-2e
2倍角の公式
sin2x=2sinxcOS X
y'の符号の決め方につい
ては、次ページ 検討 を参
照。
と lim
0
301
f(x)-f(-3)
(3) f(x)=|x|√x+3とする
f(x)-f(0)
x-0
=±√3
(複号同順)
lim x-(-3)
x-3+0
6章
=8
25
よって, f(x) は x=0,
x=-3で微分可能でない
が, x=0では極小となる。
関数の値の変化 最大・最小
からの)
易
チャー
を漏
習か
頼の
幅広
加え
基礎
学の
LH
つま
-B