Question

おと

微分

f(x)の3次の係数がマイナスの場合でもこのグラフと同じ正負で考えて大丈夫でしょうか？？

ここでは、もう少し詳しく考えてみよう.
の符号はともに正より, y=f(x) は x30 で確かに極値をもたない。
2x=a の前後でf'(x) の符号が変化する」が成り立つことであった。
F(x)=3x* より, f'(x)=0 の解は重解 x=0 であるが, x=0 の前後でf(x)
関数 y=f(x) が x=a で極値をもつための条件は, 「① f(a)=0 かつ
例題206 では, 3次関数が極値をもつ場合ともたない場合について考えた。
実際、2が成り立たず極値をもたない簡単な例として f(x)=x° がある。
この状況を y=f(x)=x°, y=f(x)=3x* のグラフで表すと, 次のようになる。
こんの
phaumn
f(x)とず(x)の関係」
工業大)
a
0
「x<0 でf(x)>0→f(x) は単調増加
|=0 でf'(x)=0→接線の傾き0
|x>0 でf(x)>0→f(x) は単調増加
このグラフを簡略化して表したものが「増減表」であ
る。この2つのグラフからもわかるように, 一般に, 3
次関数 ソ=f(x)==ax°+bx?+cx+d (a>0) と,
その導関数 y= f'(x)=3ax°+2bx+c の関係は次のよ
うになっている。
これは
4 ソ=f(x)=x°
重解をも
らたない
である
0
4ソ=f(x)=3x°
ある
変化
(i) 単調 単調単調
増加 減少 増加y=f(x)
単調増加
() 単調増加
ソ={(x)
→y=f(x)
=0
※6g
PR
P
ーる。
接線の
傾きは0
M
30
B
x
10
=a
x
ソ=f(x) がすべての実数に
おいて単調増加
→y=f(x) がx軸と共
有点をもたない
(つねに y=f(x)>0)
→2次方程式 F(x)=0
が実数解をもたない
よって, 判別式D<0
10=X
y=f(x) がx=α, B で
極値をもつ
→y=f(x) が
x=α, Bでx軸と2
点で交わる
→2次方程式 f'(x)=0
が異なる2つの実数
解をもつ
よって,判別式 D>0
注》(i)~面において, 政物線 y=f(x) の軸 (i)では x="ナB (i), (面は x=a]を填に。
ソ=f(x) がxキαのすべて
の実数において単調増加で,
x=α で接線の傾きが0と
なる
→ y=f'(x)がx=α
でx軸と接する
→2次方程式 f'(x)=0
が重解(α)をもつ
よって, 判別式 D=0
2
グラフの「変曲点」と呼び, すべての3次関数のグラフはこの変曲点に関して点対称にな
ニている。これは放物線の軸に関する対称性からも予想がつくであろう.