Question

ぱらば

重問文系の142です！
解答の二枚目の波線部分がどこから来ているのかわからないです
教えてください！

必解142.<3次曲線の対称性〉
f(x)= 2x°+3x?ーx+1 とする。
(1) 関数 y=f(x) は x=α で極大値, x=β で極小値をとる。α, βを求めよ。
また,2点(α, f(α)), (B, f(B)) を結ぶ線分の中点Pが曲線 y=f(x)上にあること
を示せ。
(2))点Pに関して平面上の点(x, y) と対称となる点の座標をx, yで表せ。
(3) 関数 y= f(x) のグラフは点Pに関して点対称であることを示せ。ただし, 一般
に曲線Cが点Pに関して点対称であるとは, 点QがC上にあるとき, 点Qの点Pに
関して対称である点RもC上にあることである。
[名古屋市大·経 改)

指針 142<3次曲線の対称性〉
(1) 中点Pの座標は(a+8, M@)+八8))
2
2
a, Bは2次方程式 f'(x) =0 の2つの解 → 解と係数の関係 を利用
(2) 点Qが点Pに関して点Rと対称 → 点Pは線分 QR の中点
(3) 点(x, y) が y=f(x) のグラフ上にあるとき, 点(x, y) とPに関して対称な点
(X, Y) も y=f(x) のグラフ上にあることを示す。
(1) f(x) = 2x°3+3xーx+1 から
-3土V15
f(x)= 6x°+6x-1
f(x)=0 とすると
-3土、3-6-(-1)
x=
x
6
6
f(x)の増減表は次のようになる。
110
数学重要問題集 (文系)

1, 最小店よ
2点(α, f(a)), (B, f(B))を結ぶ線分の中点Pの座標は
a, Bは2次方程式 6x°+6x-1=0 の2つの解であるから,解と係
a+b=-しをえ
-3-V15
-3+V15
x
6
6
f(x)
0
0
分子は
(a-bldtabイ
f(x)
極大
極小
-3-V15
6
B=ニ3+/15
6
Q=
la-bla+H
よって
letB fla)+ f(B)
2
変形。
a,
α+B=-1
数の関係により
a+B
ミ、1
2
したがって
2
また、x)=(6x+6x-1+-x+
fla)=- か8) =-8+号
(a+B)+=2
5
7
-a, Bは2次方程式
6x°+6x-1=0 の解であ
るから 6°+6α-1=0,
68°+68-1=0
raの値に関係なく味
一直線の方程式をのにこ
ての恒等式とみる
7
f(B) =
5
5
3
f(a)+f(B)
1
5
やf(a) = 2«°+3a'-a+1,
f(B)= 28°+38°ーB+1
と解と係数の関係から
f(a)+ f(B)
よって F(-吉3)
A-)--)+(-)-(-)1-2であるから, 点Pは
1
12直線が直交
→傾きの積が-1
2
を求めても
2
3
よい。
曲線 y=f(x) 上にある。
x+X
2
y+Y
=2
合もとの点と対称点を結んだ
線分の中点が点P
2
2
(2) 求める点の座標を(X, Y)とすると
よって
X=-x-1, Y=-y+4
したがって, 求める点の座標は
(3) (2) から, 点(x, y) が y=f(x)のグラフ上にあるとき, 点
(x, y) と点Pに関して対称な点(X, Y)も y=f(x)のグラフ上
にあることを示せばよい。点(x, y)が y=f(x) のグラフ上にあ
ることから
このとき
f(X)= f(-x-1)=2(-x-1)*+3(-x-1)?-(-x-1)+1
y=2x°+3x°-x+1
y=2x°+3x°-x+1 を使
って、f(X)= Y となるこ
とを示す。
=-2x°-3x°+x+3= (2x°+3x°ーx+1)+4=ーy+4
ニ ー
よって,点(X, Y)が y=f(x) のグラフ上にあるから, y=f(x)
のグラフは点Pに関して点対称である。
=Y
用
が筋な点
ローブー
bla-bj+do

微分積分 微分