⑹で図形の対象性より外接球と内接球の中心が一致すると書いてありますが、 図形の対象性とはどういうことですか？

262 第4章 図形と計量 Think 例題 137 Sing= 正四面体の種々の量 ∠OMA=0 とする.また,頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を 1辺の長さがα の正四面体OABC で, 辺BCの中点をMとして、 Hとする. 次の値を求めよ. (1) cose (3) △ABCの面積S (5) 正四面体の内接球の半径r [考え方] OH OM 0 1002000010 B A 正四面体の内接球の半径 001 内接球の中心をIとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ ania. の三角錐に分割したとき,それぞれの角錐の高さが内接球の半 径になる. CODE FOT つまり、内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半 径を求めたアイデアと同様に、分割してみる. 正四面体の外接球の半径 外接球とは 4点 0, A,B,Cを通る球で, 対称性を考えれば, 内接球の中心と外接球の中心は一致する . 外接球の半径は OIになることを利用する. 解答 ∠OMA を含む △OAM に着目すると, on Jend A √√3 OM=AM=- 2 3507-03 また, 対称性より, 点Hは△ABC の重心である。 cos A= a 0 (2) sin0=√1-cos20 3 △OMH において OH = OMsin O √3 2 正四面体は左の図のように回転させても同じような立 体の状況になる. このように図形や立体が対称性をもつ場合,その性質 B を利用して考えるとよい。 (1) 点Hは線分 AM を 2:1に内分 する. ここで,(2) OHの長さを A H 求めるから, 辺 OH を含む △OMH B において, >(2) OH の長さ (4) 正四面体の体積V (6) 正四面体の外接球の半径R -ax THOSEBEN HM _1 OM AM == 3 2√2 3 2√2-√6 3 =- a 0-0000-001 802+024x 8\084-04-2A 0 0 H 1 /3 2 €OC LOCA +06) M AM M **** C -a=AM A B a 160° 20 B M 重心については p.426 参照 sin'0+cos'0=1 を |利用 A BET

⑴でどうしてHは重心だと分かりますか？

262 第4章 図形と計量 Think **** 例題137 正四面体の種々の量 1辺の長さが4の正四面体OABC で、辺BCの中点をMとして ∠OMA=0 とする.また,頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を Hとする。 次の値を求めよ. (1) cose (3) △ABCの面積S (5) 正四面体の内接球の半径r [考え方] 3r 0 √3 OM=AM= -a 2 Sing OH OM B A 正四面体の内接球の半径 内接球の中心をIとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ の三角錐に分割したとき,それぞれの角錐の高さが内接球の半 00012001 径になる。)に つまり、内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半 径を求めたアイデアと同様に,分割してみる. 正四面体の外接球の半径 外接球とは4点 0, A,B,Cを通る球で, 対称性を考えれば, 内接球の中心と外接球の中心は一致する. 1x8-0014 2 外接球の半径はOIになることを利用する. B "00200001+ 7802 VOS Joat Fred DOT 解答 ∠OMA を含む △OAM に着目すると, cos A= (2) sin=√1-cos20 Foa また, 対称性より, 点Hは△ABC の重心である。 (1) 点Hは線分 AM を 2:1に内分 する. ここで, (2) OHの長さを 求めるから, 辺 OH を含む △OMH において, HM 3 OM 正四面体は左の図のように回転させても同じような立 体の状況になる. (2) OH の長さ (4) 正四面体の体積V >(6) 正四面体の外接球の半径R このように図形や立体が対称性をもつ場合,その性質 を利用して考えるとよい = △OMH において, OH=OM sin O =- 2 =√₁-( 13 ) ² = ²43 ² 2√2 AM AM 3 √32√2√6 ax. 3 3 a 0-0000-2001 EVO2-00-7 0 EV02 + 02-0A 7 H H $300 10CA 0 Baie DA JA -1-02) B V3 2 000 M nia C SUA -a=AM M 11/13 AM A Jes=1 B 0600 I a 2 B M C 重心については p.426 参照 sin' +cos20=1 を 利用 A BET 881

赤線までは分かるんですがそれから下が分かりません。 分かりやすく教えてください。

L(0, 0), M(atc, 2), N(_2, 2) よって,中線 AL, BM, CN を 2:1に内分する 点の座標はそれぞれ (5. §), -c+(a+c) 3 c+(a-c), 2+1) 0+6 0+b 2+1/' c>0, (a²+B2+4)c²>0, (ab+2) ≧0であるから (2+AC2)(2+BC2)-2AB2 > 0 2AB2 < (2+AC2)(2+BC2) となり, 一致する｡ すなわち, △ABCの3つの中線は1点で交わる。 (2) 直線AB をx軸にとり、点Cをy軸上にとると,各頂点の座 標は,A(a,0),B(b,0), C(0, c) と表すことができる。 ただし,α,bは同時に0になることはなく, c=0とする。 このとき (2+AC2)(2+BC2)-2AB2 =(2+α²+c²)(2+b°+c²)-2(a-b)2 =c¹+(a²+b²+4)c²+(a²+2)(b²+2)-2(a-b)² =c¹+(a²+b²+4)c²+a²b²+2a²+26² +4-2(a²-2ab+b²) =c¹+(a²+b²+4)c²+a²b²+4ab+4 =c¹+(a²+b²+4)c²+(ab+2)² (-₁,0) a+b1 2 HINT (1) 三角形の頂点をA(a, a2), B (61, bz), C (C1, C2) とする。 (2) 正三角形の対称性を利用して, 頂点の座標を決める。 B (1) 三角形の頂点の座標を A (a1,a2), B(b1, 62), C (C1, C2) と し, 辺AB, BC, CA の中点の座標がそれぞれ (1, -1), (2,4), (31) であるとする。 x 座標について =1, よって b2+C1=2, 22 cital=3 2 2) 201 すなわち EX 次の条件を満たす三角形の頂点の座標を求めよ。 Ⓡ51 (1) 各辺の中点の座標が (1,-1),(2,4),(3,1) 08:0 (2) 1辺の長さが2の正三角形で、1つの頂点がx軸上にあり,その重心は原 中 AC (a,( ←cに 整理 ←(右) → (2 付

なぜPはOH上にあるのか分かりやすく教えてほしいです。

外接球の半径 外接球の半径を求めるには、 外接球の中心Pがどこにあ るかを対称性などにより把握することがポイントとなる. 三脚型 (OA=OB=OC) では,Pは0から△ABCに下ろした垂線 OH 上 にある. OA=OB=OC, PA=PB=PC なので, 0, P から下ろした垂線の足 はともに △ABCの外心Hに一致する. Pは直線 OH 上にある. なお、外接球の半径を求めるときは, p.105 の ｢ひし形を折り曲げてできる 四面体」になっている場合も多い。 また, 教科書 Next 「三角比と図形の集中 「講義」 を持っている人は 838 を合わせて参考にされたい. r ① Y H B C

円に接する放物線 画像一枚目の(1)の模範解答について分からないので教えていただきたく思います。 画像一枚目と二枚目はほとんど同じ問題なのですが、異なる参考書の模範解答です。 どちらも原点の1点のみ接するとき、原点と0以下の実数解をもつと考えて解答をだしていますが、どうし... 続きを読む

プロセス 放物線y=21212x① と x+(yd) = r (a>0,r> 0)…. ② につ いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め、 rをの式で表せ。 (1) 放物線 ① と円 ② が原点0で接し、かつ他に共有点をもたない。 (2) 放物線 ① と円 ② が異なる2点で接する。 見方を変える 去 /①② を連立 についての4次方程式 〔別解1] 次数が高い についての2次方程式 [本解〕 次数が低い 対応を考える ↓ 解は共有点のy座標を表す。 図形はy軸対称であり、解と共有点 の対応は右の図のようになる。 条件の言い換え yについての2次方程式が (1) y ≧0 において, 解がy=0 のみ (2) y>0 において、 重解をもつ 1①より,x²= 2y であり y≧0 ②に代入すると 2y+(y—a)² = y² y²+2(1—a)y+(a² − r²) = 0 (1) 題意を満たすのは, ③ が y = 0 を解にもち,y>0 の範囲に解を もたないときである。 y = 0 が解であるから a² r² = 0 > 0, r>0であるから r = a このとき, ③は y2+2(1-α)y=0 y{y+2(1-a)}=0/ よって、 ③のy=0 以外の解は/ y=2(a-1) (1) 2(a-1)≧0より 0<a ≤1 したがって 0<a≦1,r= a y>0 の解は 共有点2つに対応 Action》 円と放物線の共有点は, 連立してx を消去せよ : y=0の解は 接点1つに対応 O 1 x (2) 2 YA 2 xを消去する。 yの範囲は y≧0であ る。 共有点が原点のみである から, y ≧0 においては、 y = 0 しか解はない。 また,このとき, グラフ の対称性から,原点で接 するといえる。 これが正であってはいけ ない｡ *2 a-1) = 0 のときも含 まれることに注意する。

写真の問題について質問があります。 ①赤丸部分についてですが、グラフの面積がx軸で対称になっているから、Sはy≧0を 2倍したもので求めていると思いますが、もし、対称性を使わずに普通に積分しようとして求めるならば、 S=∫ydx[2〜e+e^-1」+∫-ydx[2〜e+e... 続きを読む

(1)このアルキメデスの螺旋は原点対象性と言えますか？ 教えてください🙇‍♀️

(1) _r=20 (-2л≤0≤2π) (2) r=sin 20 考え方 0とrとの対応表を作成し、極座標に点 (9) をとって曲線をかく. < 0 の場合、偏角 0 の半直線の逆向きに, 原点からの点をとる. とくに, 2)のグラ フ (正葉曲線) は, 対称性や周期を考える. 解答 (1) 0≦0≦2のとき,0とrの対応は次のようになる。｣ 元 0 0 700 r 0 63 π 4 π 2 -2≧0≦0 は上の表の 0とrの符号を変えたもの である。 よって, グラフは右の図 のようになる。 π |32| 3 π T 2 2 π -4π 0)-27/ 2343 3 π π TC 2π/ ① -3T 3432 π 47 π CL OF 38 2005 2T 4T 5/65-3 X (2) r=f(0) = sin20 とおくと, (i) f(-8)=sin2(-6)=-sin20=-rである。 つまり (y,0)と(-r, -9) が同一曲線上に あるから,この曲線は,極を通り, 始線に垂直な直 線に関して対称である, (ii) f(-0)=sin (27-20)=-sin 20=-rat T π π 2π ... ... 2μ 47 r=2(-8) =-20 0≤0≤2A ・黒線 -2π≤0 ≤0** アルキメデスの蝶線 始線に垂直な直線。 つまり、y軸に関し て対称である.

数学II 三次関数 変曲点 対称性について 記述式の答案に、三次関数が変曲点について対称である、ということを説明なしに直接書くのはアウトでしょうか。

［数学III 関数のグラフの概形］ 348の解答で紫で線を引いている所はなぜ0≦x≦2だったのが、0<x<2で場合分けを行っているのでしょうか？

(1) y=log|logx-1| 348 次の曲線の概形をかけ。 (1) y2=x2(4-x2) 349 xy平面上に, 媒介変数t で表され

例題190に関して、グラフの対称性を利用して範囲を絞っていることはわかるのですが、その際θ＝0およびπにおいてなぜ微分可能なのでしょうか。 188と同様の性質から、範囲を絞っていると推測しているのですが、188で x＝2πのときに微分ができないならば、190のθ＝πについて... 続きを読む

重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示 曲線 x=cos o y=sin20 指針 基本は 0の消去。 y2=sin 20=4sin²0cos20=4(1-cos²d) cos'日から,y'=4x2(1-x2) となり,前ページのようにして概形をかくことができる。 しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは, 媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ, 点 (x,y) の動きを追う 方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。 解答 cos O, sin 20 の周期はそれぞれ2π, πである。 x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0) であるから, 曲線はx軸に関して対称である。 したがって, ① の範囲で考える。 ① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は 0 ƒ'(0) x f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20 g'(0) y (グラフ) 0 0 1 (−T≦O≦π) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。 _g' (0) = 0 を満たす 0の値は 4'4 ① の範囲における0の値の変化に対応した x,yの値の変化は, 次の表のようになる。 YA 1 : T x ← + + 1 √2 0 ↑ 1 y グラフ π 4 ↑ : ↓ π 2 0 ↓ ↑ - : ← t T ...... 0=0, π 0= 1 √2 0 ↓ 0 ↓ -1 ← π 3 π (*) I π T ← + ← π よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。 注意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また ↑ ↓ はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。 意 2. グラフの形状を示す矢印, , , は x,yの増減 に応じて、下の表のようになる。 0 -1 + 基本 187,188 0 (*) 0=α に対応した点を (x,y) とすると,0=-α に対応した点は(x,y) よって, 曲線はx軸に関し て対称である。ゆえに, 0≦OSTに対応した部分と 00に対応した部分 は,x軸に関して対称。 √2 8=R 0 21 8= T! 1 A=1 v2 100 -1 1