Question

おにぎり

⑴でどうしてHは重心だと分かりますか？

262 第4章 図形と計量
Think
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例題137
正四面体の種々の量
1辺の長さが4の正四面体OABC で、辺BCの中点をMとして
∠OMA=0 とする.また,頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を
Hとする。 次の値を求めよ.
(1) cose
(3) △ABCの面積S
(5) 正四面体の内接球の半径r
[考え方]
3r
0
√3
OM=AM= -a
2
Sing OH
OM
B
A
正四面体の内接球の半径
内接球の中心をIとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ
の三角錐に分割したとき,それぞれの角錐の高さが内接球の半
00012001
径になる。)に
つまり、内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半
径を求めたアイデアと同様に,分割してみる.
正四面体の外接球の半径
外接球とは4点 0, A,B,Cを通る球で, 対称性を考えれば,
内接球の中心と外接球の中心は一致する.
1x8-0014 2
外接球の半径はOIになることを利用する.
B
"00200001+ 7802 VOS
Joat Fred
DOT
解答 ∠OMA を含む △OAM に着目すると,
cos A=
(2) sin=√1-cos20
Foa
また, 対称性より, 点Hは△ABC
の重心である。
(1) 点Hは線分 AM を 2:1に内分
する. ここで, (2) OHの長さを
求めるから, 辺 OH を含む △OMH
において,
HM 3
OM
正四面体は左の図のように回転させても同じような立
体の状況になる.
(2) OH の長さ
(4) 正四面体の体積V
>(6) 正四面体の外接球の半径R
このように図形や立体が対称性をもつ場合,その性質
を利用して考えるとよい
=
△OMH において,
OH=OM sin O
=-
2
=√₁-( 13 ) ² = ²43 ²
2√2
AM
AM 3
√32√2√6
ax.
3
3
a
0-0000-2001
EVO2-00-7
0
EV02 + 02-0A
7
H
H
$300 10CA
0
Baie DA JA
-1-02)
B
V3
2
000
M
nia
C
SUA
-a=AM
M
11/13 AM
A
Jes=1
B
0600
I
a
2
B
M
C
重心については
p.426 参照
sin' +cos20=1 を
利用
A BET
881

図形と計量