Question

おにぎり

⑹で図形の対象性より外接球と内接球の中心が一致すると書いてありますが、
図形の対象性とはどういうことですか？

262 第4章 図形と計量
Think
例題 137
Sing=
正四面体の種々の量
∠OMA=0 とする.また,頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を
1辺の長さがα の正四面体OABC で, 辺BCの中点をMとして、
Hとする. 次の値を求めよ.
(1) cose
(3) △ABCの面積S
(5) 正四面体の内接球の半径r
[考え方]
OH
OM
0
1002000010
B
A
正四面体の内接球の半径
001
内接球の中心をIとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ ania.
の三角錐に分割したとき,それぞれの角錐の高さが内接球の半
径になる.
CODE FOT
つまり、内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半
径を求めたアイデアと同様に、分割してみる.
正四面体の外接球の半径
外接球とは 4点 0, A,B,Cを通る球で, 対称性を考えれば,
内接球の中心と外接球の中心は一致する .
外接球の半径は OIになることを利用する.
解答 ∠OMA を含む △OAM に着目すると,
on Jend A √√3
OM=AM=-
2
3507-03
また, 対称性より, 点Hは△ABC
の重心である。
cos A=
a
0
(2) sin0=√1-cos20
3
△OMH において
OH = OMsin O
√3
2
正四面体は左の図のように回転させても同じような立
体の状況になる.
このように図形や立体が対称性をもつ場合,その性質
B を利用して考えるとよい。
(1) 点Hは線分 AM を 2:1に内分
する. ここで,(2) OHの長さを A H
求めるから, 辺 OH を含む △OMH
B
において,
>(2) OH の長さ
(4) 正四面体の体積V
(6) 正四面体の外接球の半径R
-ax
THOSEBEN
HM
_1
OM AM ==
3
2√2
3
2√2-√6
3
=-
a
0-0000-001
802+024x
8\084-04-2A
0
0
H
1
/3
2
€OC LOCA
+06)
M
AM
M
****
C
-a=AM
A
B
a
160°
20
B
M
重心については
p.426 参照
sin'0+cos'0=1 を
|利用
A BET

**
て,
を
うな立
の性質
OH-I4
H
Focus
(別解)
√ La
Hが重心であることを用いると
AM-23-3a
AH =-
3
△OAH において,
OH=√OA²-AH
√3
3
(3)
(4) V=
(5) 内接球の中心をIとすると
4
√6
S=121aasin60°=1/12a.g
n60⁰-1²3-√3a²
4
1.√3
V=1/13.SOH = 1/13. √6 √√2
a²..
a=
3
-a³
12
V=(三角錐IOAB) (三角錐IOAC)
+(三角錐IOBC) + (三角錐IABC)
=1/13△OAB r+1/30AC・
a
=1/3・4Sr
したがって, (3),(4)より,
よって,r=14
√6
-a
12
DO
+ /1/3△OBC+ /1/23△ABC・
=1/23(△OAB+△OAC+ OBC+△ABC)
2
12
√√3
(2)より
L
OH=- -a, IH=r= -a
4.
3 4
3
√6
12
L(3)より内接円の半径
したがって, IH=- -OH となり,IはOHを3:1
4
に内分する点になる.
3
よってR=10=220H-21564=14
3√6
√6
a=
3
(6) 図形の対称性より, 内接球の中心と外接球の中心は
一致する.
また、内接球の中心Ⅰ は OH 上にあり, 9000 ch
√6
TOSA
3
対称性をもつ図形では,その性質を活用する
図形の計量 263
三平方の定理
正四面体OABCを
下のように分割する
と、4つの三角錐の
高さは内接球の半径
になる.
0
A
4.
A
B
B
B
C
第4章
練習 AB=BC=CA=CD=α,∠ACD=90℃, ∠BCD=60° である四面体ABCD が
[137] ある。 辺BCの中点をM, ∠DMA = 0 とし, D から平面ABCに下ろした垂線
**** の足をHとする.
(1) cos , DHの長さを求めよ.
(3) 四面体に内接する球の半径を求めよ.
(2) 四面体の体積Vを求めよ.
p. 267 29)