Question

あ

例題190に関して、グラフの対称性を利用して範囲を絞っていることはわかるのですが、その際θ＝0およびπにおいてなぜ微分可能なのでしょうか。
188と同様の性質から、範囲を絞っていると推測しているのですが、188で x＝2πのときに微分ができないならば、190のθ＝πについても範囲の端であることから微分は出来ないのではないかと思いました。（例題190におけるθ＝0、188におけるx＝0は範囲を制限しているだけで本来端にならないはずなので、188でx＝0で微分をしていない理由も知りたいです。）そのため、なぜ188と190で微分が可能な範囲に差があるのか教えていただきたいです。

（写真2枚目が例題188です🙇）

重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示
曲線
x=cos o
y=sin20
指針 基本は 0の消去。 y2=sin 20=4sin²0cos20=4(1-cos²d) cos'日から,y'=4x2(1-x2)
となり,前ページのようにして概形をかくことができる。
しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは,
媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ,
点 (x,y) の動きを追う
方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。
解答
cos O, sin 20 の周期はそれぞれ2π, πである。
x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0)
であるから, 曲線はx軸に関して対称である。
したがって,
① の範囲で考える。
① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は
0
ƒ'(0)
x
f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20
g'(0)
y
(グラフ)
0
0
1
(−T≦O≦π) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。
_g' (0) = 0 を満たす 0の値は
4'4
① の範囲における0の値の変化に対応した x,yの値の変化は, 次の表のようになる。
YA
1
:
T
x
←
+ +
1
√2
0
↑ 1
y
グラフ
π
4
↑
:
↓
π
2
0
↓ ↑
-
:
← t
T
......
0=0, π
0=
1
√2
0
↓ 0 ↓ -1
←
π 3
π
(*)
I
π
T
←
+
←
π
よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。
注意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また ↑ ↓
はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。
意 2. グラフの形状を示す矢印, , , は x,yの増減
に応じて、下の表のようになる。
0
-1
+
基本 187,188
0
(*) 0=α に対応した点を
(x,y) とすると,0=-α
に対応した点は(x,y)
よって, 曲線はx軸に関し
て対称である。ゆえに,
0≦OSTに対応した部分と
00に対応した部分
は,x軸に関して対称。
√2
8=R
0
21
8=
T!
1 A=1
v2
100
-1
1

関数 y=4cosx+cos 2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。
基本 187
指針 関数のグラフをかく問題では,前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値、凹凸
と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注
[rb
目すると, 増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(-x) = f(x) が成り立つ (偶関数)
グラフは
軸対称
グラフは
原点対称
f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数)
この問題の関数は偶関数であり, y' = 0, y”=0の解の数がやや多くなるから, 0x
の範囲で増減凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2におけるグラフをy軸に関して対称
に折り返したものを利用する。
解答
① y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸
に関して対称である。
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2･2sinxcOS x
=-4sinx(cosx+1)
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)}
=–4(cosx+1)(2cosx-1)
0<x<2πにおいて, y' = 0 となるxの値は, sinx = 0 または
cosx+1=0から
x=π
y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0から
x
y'
5
3"
よって, 0≦x≦2におけるyの増減,凹凸は,次の表のようになる。 (*
0
J²
y
T
LO
-
x=
2
|NW|O||w|H
π
:
-
+
π,
9
π
0
0
:
-3
+ +
5
+
0
3
2
ゆえに, グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。
π
:
+
T
| 2π
LO
5
cos (-)=cos
2倍角の公式。
(数学ⅡI)
y=-4sinx-2sin2xを
微分。
重要 189, 190
(*)の式で, cosx+1≧0
に注意。 sinx, 2cosx-1
の符号に注目。
15 500/00
-27
1
10
π
3
YA
15
TO
0
IT
too
13-2!!
T
w/11
π
3
-25-3
2X
・π
f(x+2)=f(x)]
[参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると
よって, f(x) は2を周期とする周期関数である。
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
ー数学ⅡⅠ 参照。
方
In to th
方程
は成
8-2
0<₂
y
y
y' =
また
ON
94 T

数3 数iii 微分積分 微積 微分 理系 大学受験 青チャート 媒介変数表示