Question

kita

円に接する放物線
画像一枚目の(1)の模範解答について分からないので教えていただきたく思います。

画像一枚目と二枚目はほとんど同じ問題なのですが、異なる参考書の模範解答です。
どちらも原点の1点のみ接するとき、原点と0以下の実数解をもつと考えて解答をだしていますが、どうしてこのような考えにいたるのでしょうか。
原点のみでyが重解をもつだけでは良くない理由を教えていただきたく思います。

プロセス
放物線y=21212x① と x+(yd) = r (a>0,r> 0)…. ② につ
いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め、 rをの式で表せ。
(1) 放物線 ① と円 ② が原点0で接し、かつ他に共有点をもたない。
(2) 放物線 ① と円 ② が異なる2点で接する。
見方を変える
去
/①②
を連立
についての4次方程式 〔別解1]
次数が高い
についての2次方程式 [本解〕
次数が低い
対応を考える ↓
解は共有点のy座標を表す。
図形はy軸対称であり、解と共有点
の対応は右の図のようになる。
条件の言い換え
yについての2次方程式が
(1) y ≧0 において, 解がy=0 のみ
(2) y>0 において、 重解をもつ
1①より,x²= 2y であり y≧0
②に代入すると
2y+(y—a)² = y²
y²+2(1—a)y+(a² − r²) = 0
(1) 題意を満たすのは, ③ が y = 0
を解にもち,y>0 の範囲に解を
もたないときである。
y = 0 が解であるから
a² r² = 0
> 0, r>0であるから r = a
このとき, ③は
y2+2(1-α)y=0
y{y+2(1-a)}=0/
よって、 ③のy=0 以外の解は/
y=2(a-1)
(1)
2(a-1)≧0より 0<a ≤1
したがって
0<a≦1,r= a
y>0 の解は
共有点2つに対応
Action》 円と放物線の共有点は, 連立してx を消去せよ
:
y=0の解は
接点1つに対応
O
1
x
(2)
2
YA
2
xを消去する。
yの範囲は y≧0であ
る。
共有点が原点のみである
から, y ≧0 においては、
y = 0 しか解はない。
また,このとき, グラフ
の対称性から,原点で接
するといえる。
これが正であってはいけ
ない｡
*2 a-1) = 0 のときも含
まれることに注意する。

(2) 放物線と円が1点のみで接するには, ① が 0 と 0以下
の実数解をもてばよい.
つまり, (i) ②の軸が軸またはその左側
(Ⅱ) (②の頂点の座標)≦0
11
(iii) f(0)=0
(i) -50 £1), as ²1/2
≧0より、
2a-1
2
1
(ii) a--²--²≤0 h,
2≧0より、
α
4a-1
4
r2=a²
4a-1
4
7².
(i) f(0)=α²-r² =0 より,
r2=² のとき, (Ⅱ)は,
a² M
となり, つねに成り立つ.
よって, (i), (m) と >0 より,
as lal=r (r>0)
より, (2a-1)≧0
ts
0|
YA
0-8+%
O
XC
zz=f(y)
10 y
(2

Z
0
ゲス(ap+(パート²)
g

円 円に接する放物線 放物線 数学ii