□*429 f(x) は 3 次関数で,x=1で極大値6をとり, x=2で極小値5をとる。 f(x)
を求めよ。
□ 430 x の関数 y=x3+(p+1)x2+px+1 が常に単調に増加するように, 定数の
値の範囲を定めよ。
例題 42 関数 f(x)=x+ax²+bx+c が極値をもつための、定数a, b, c
関する条件を求めよ。
指針 f(x) が3次関数のとき, f (x) は2次関数であるから,次
のことがいえる。
f(x) が極値をもつ
⇔ f'(x) の符号がその前後で変わるxの値がある
⇔ 2次方程式f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつ
解答 f(x)=x+ax2+bx+c から f'(x)=3x²+2ax+b
y=f(
f(x) が極値をもつのは,f'(x) の符号がその前後で変わるxの値が存在するとき
なわち2次方程式 3x2+2ax+b=0 ① が異なる2つの実数解をもつとき
る。
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2次方程式 ① の判別式を D とすると1/4=d-3b
2次方程式 ①が異なる2つの実数解をもつための