Question

やんさん

430番の問題で短調増加するための条件がyダッシュが0より大きいのが常に成り立つ時と書いてあるのに
必要十分条件はなぜyダッシュが0より小さい時でやっているのでしょうか
教えていただけると助かります

□*429 f(x) は 3 次関数で,x=1で極大値6をとり, x=2で極小値5をとる。 f(x)
を求めよ。
□ 430 x の関数 y=x3+(p+1)x2+px+1 が常に単調に増加するように, 定数の
値の範囲を定めよ。
例題 42 関数 f(x)=x+ax²+bx+c が極値をもつための、定数a, b, c
関する条件を求めよ。
指針 f(x) が3次関数のとき, f (x) は2次関数であるから,次
のことがいえる。
f(x) が極値をもつ
⇔ f'(x) の符号がその前後で変わるxの値がある
⇔ 2次方程式f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつ
解答 f(x)=x+ax2+bx+c から f'(x)=3x²+2ax+b
y=f(
f(x) が極値をもつのは,f'(x) の符号がその前後で変わるxの値が存在するとき
なわち2次方程式 3x2+2ax+b=0 ① が異なる2つの実数解をもつとき
る。
･･
******
2次方程式 ① の判別式を D とすると1/4=d-3b
2次方程式 ①が異なる2つの実数解をもつための

X
1
...
2
f ' (x)
+
0
0
+
f(x)
極大
極小
1
6
5
SEA
よって, f(x) はx=1で極大値 6, x=2で極小
値5をとり、条件を満たす。
ゆえに
430
5)
f(x) =2x3-9x2 + 12x + 1
指針
が3次関数のとき
は2次関数であるか
y'≧0が常に成り立つ条件を求めるのに判
別式が利用できる。
y'=3x²+2(p+1)x+p2
が常に単調に増加するのは, y'≧0が常に成り
立つときである。
すなわち
3x²+2(p+1)x+p≧0
******
①
ここで, 2次方程式3x²+2(p+1)x+2=0 の判
別式をDとすると
+= (p+1)² -3- p² = −2p²+2p+1

128 4STEP数学ⅡI
①が常に成り立つための必要十分条件は DS0
-2p+2p+1≤O
であるから
これを解いて p1-1+ sp
431 (1) f(x)=x+20*6+2
f(x)が極値をもつの
で変わるのが存在するとき、すなわ
方程式(x) =0が異なる2つの
その前後
もつと
きである。
2次方程式(x)=0とすると
2次方程式(x)=0異なる2つの
つための必要十分条件から
(a+1-2>0
したがって -1.2
*<-1. 2<#
(2) g(x)=3x²+x-3
g(x)が値をもたない
変わるのが
がその
しないとき。すなわ
2次方程式(x)=が数を1つだけをつ
か、または実数解をもたないときである。
2
g(x)=0とすると
D=8²-3-30-40+9