計算方法、答えともに分からない状態です。 教えていただけると幸いですm(_ _)m

問題 A2 (10点) 関数y = sinh(x + 1) の逆関数を求めよ.

画像のような関数のグラフを書きたいのですが、微分すると分子がxを含まなくなり、y'=0となるxを見つけられません。 こういった場合、どうするべきなのでしょうか？ 高校範囲ではないかもしれませんが、お願いします。

(e³) = -e ex-e y= ex+e-x y' = (1 (e²-e*) (e²+e*) - (e*-e*) (e*+*)" (ex+x)2 (ee) (ee)-(e-e*) (e-e) (e" + e¯x) ² (ex+ex)² - (ex-e)² (ex+e*)² 4 2 (ex² + e*)² 老人 大

曲線の媒介変数表示についての質問です 放物線x²=4pyや双曲線x²/a²-y²/b²=-1の2つには媒介変数表示は無いのですか？？

[1]の証明のあとに[1]からなぜ双曲線関数と呼ばれるか分かるだろう、と書いてあるのですがなぜか結局よく分からなかったので教えてほしいです！

264 参 双曲線関数 事項 p.254 の練習 149 (9) では, 関数y= ex-e-x exte-x の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。 ① sinhx= y4 2 3 coshx= tanhx= [1] の証明 ALTIN ex-e-* 2 ette* 2 ex-e-* e* te* (左辺)= - の導関数を求めた。 この関数を含めて、次 y=coshx y=e² O y=sinhx y= C 双曲線関数の逆関数 y=-e A ASIG YA 251 なお, sinh x をハイパボリック サイン, coshx をハイパボリック・コサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。 高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入 試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。 sinhx D 691 [2] tanhx= coshx [1] cosh’x−sinhx=1 [3] (sinhx)'=coshx 1 cosh"x それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。 #TERO [>x>I-# (x)\ (S) 0 [5] (tanhx)'= (12(>1- 1>x>1-) (R = (@r+ (x)\\ [4] (coshx)'=sinhx (e*+e-x)*(ex-e^*)? _ e2x+2+e-2-(e2x-2+ℓ^2)=1=(右辺)示せ。 4 4 373 08=(1) 1-54 3=88) $18-5 [1] から なぜ ①~③ が “双曲線関数” とよばれるかがわ かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており, COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。 一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10 義されている。 また,基本例題 75では,双曲線x2-y2=1の媒介変数表 t2+1 t²-1 示x=- y= を導いたが,このte とおき換え 2t 2t るとx=cosht, y = sinht となる。 YA y=tanhx x A (cosht, sinht) 91-il (S) 1 C DESI 4TH x ✓x-y²=1 (日)広島市大 mil=(s) 20 SH p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か TRIJED らx= - (=sinhy) を導いた。 このことから, y=10g(x+√x2+1)とy=sinh x は 2 逆関数の関係になっていることがわかる。 22 基 ①1 高次 ① (2) 2② 方法 [1 [2 ③ y 2

[1]の証明のあとに[1]からなぜ双曲線関数と呼ばれるか分かるだろう、と書いてあるのですがなぜか結局よく分からなかったので教えてほしいです！

264 参考 事項 2 双曲線関数 p.254 の練習 149 (9) では、関数y=ex-e-x extex の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。 ① sinhx= 34 3 coshx= tanhx= e*-e-* 2 (左辺)= ette* 2 ex-e-* extex y= t2+1 2t るとx=cosht, y = sinht となる。 t2-1 2t の導関数を求めた。 この関数を含めて、次 y=coshx y=ex_ O y=sinhx (水) 双曲線関数の逆関数 y= なお, sinhx をハイパボリック サイン coshx をハイパボリックコサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。 高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入 試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。 [1] cosh'x-sinhx=1 [2] tanhx= [3] (sinhx)'=coshx [4] (coshx)'=sinhx sinhx coshx y=-e cosh²x (>y>1- I>x>I-) それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。J1 THRO >x>I- #(x)\ (S) [1] の証明 (e*+e^x)? (ex-e-x)^ _ ex+2+e-2-(e^x-2+e^2)=1=(右辺)せ。 4 4 4 _3+3 58=(x)\ 1=3² 3=88) 3255 - $38²55 YA A [1] から,なぜ ①~③ が“双曲線関数”とよばれるかがわ かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており, 円 COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。 一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10 義されている。 また、基本例題 75では,双曲線x²-y2=1の媒介変数表 示x=- AD ASIAN YA 1 _^ ^ ^ = ( ^^ + (x) を導いたが、このtをe とおき換え 八十0)\ 10 [5] (tanhx)'= y=tanhx x (cosht, sinht) 1C7 x ✓x-ye = 1 DESI VOH est p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か ROSES らx= (=sinhy) を導いた。 このことから, y=log(x+√x+1) とy=sinh x は 2 逆関数の関係になっていることがわかる。 USPRES (1) TSI ASD) CABA

次の式の計算方法がわかりません。教えていただけると助かります！！

て 02-0x

121の2番で微分して定数ということを示していますがそれは必要でしょうか 最初からx=0を代入するだけではダメでしょうか

独台受験 リーフ に。物理入 改訂限 216一数学I 9(x)は微分可能な関数であるから, 連続な関数である。 g(0)=0 山本義隆 著 そ微分可能 よって limg(x)=g(0) S(0)=2+g(0)="2 そlx) #ェ 合imdx ゆえに オー0 P(x)=-cos.xr+xsinx+g'(x) g(x) したがって また ゆえに そx=0を代。 P(0)=-1+g(0) (2) 両辺の自然社 両辺をxで微分 ゆえに g(0+x)-g(0) =lim x g(x) =lim を執分係数の なお、0- g'(0)=lim x x→0 x→0 →0 =1-0=0 S(0)=-1+0=イー1 実数全体で定義された2つの微分可能な関数f(x), g(x) は次の条件を満たす。 (A) (x)=g(x), g'(x)=f(x) (1) すべての実数xに対し, {F(x)}°-{g(x)}°=D1が成り立つことを示せ。 ie (nia+D よって よって EX (3) 両辺の自然 (B) f(0)=1, g(0)=0 121 両辺をxで各 (2) F(x)=e-*(x) +g(x)}, G(x)3e"{S(x)-g(x)} とするとき, F(x), G(x)を気。 (3) F(x), g(x)を求めよ。 (1) H(x)={F(x)}-{g(x)}°とする。 H(x)=2f(x)f(x)-2g(x)g°(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0 ゆえに,H(x) は定数である。 よって H(0)={F(0)}°-{g(0)}°=1°-0°=1 すなわち そH(x)=H- 数) EX 123 ここで 次の よって H(x)=1 {f(x)}°-{g(x)}?=1 (2) F(x)=-e*{F(x)+g(x)}+e-*{S (x)+g'(x)} =-e-*{f(x)+g(x)}+e*{g(x)+f(x)}=0 ←条件(Aから、 エ→0 ゆえに,F(x) は定数である。 ここで F(0)=1·{f(0) +g(0)}=1 また G(x)=e*{f(x)-g(x)}+e*{f°(x)-g(x)} =e*{S(x)-g(x)}+e*{g(x)-f(x)}=0 よって F(x)=1 -F(x)%=F{0) ゆえに,G(x) は定数である。 ここで (3) F(x)=1 であるから (2) lir G(0)=1-{f(0)-g(0)}=1 X- よって G(x)=1 そG(x)=G(0) そ(2)の結果を期 e-{f(x)+g(x)}=1 =li すなわち (x) +g(x)=e* の e*{f(x)-g(x)}=1 G(x)=1であるから すなわち そ(2)の結果を得 f(x)-g(x) =e-* 0,2から f(x) =te" alx)= e"-e 参考 このfは(3) を双曲線関数とい (本冊p.264参照 2 9(x)= e*-e-* EX 次の関数を微分せよ。 ただし、 x>0 とする。 の122 y! 2 商業医大)(2) y=xsint (1) 両辺の自然対数をと 【信州大) (3) y=x* 2 )のとき II 定対散 ーパ ライT

2連続となりますが、こちらもよろしくお願いします。 この範囲に関しては授業すらなかったので、今ひとつわかりません。 解き方と式を一つ一つ詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

[回 淡のように定義される関数を双曲線関数という. 。 g sinhzニ このとき. 次の公式が成り立つことを証明せよ. ただし, sinh*テー (sinhz)2. cosh?ァー (coshz)7 で ある. (1) cosh?ァテーsinhデテニ1 (2) (sinhz)/ =coshz 1 cosh*ァ (3) (coshz)" =sinhr (⑲ (tanhz) =

このもんだいは、なぜ、展開しないととけないのでしょうか？

で

⑴教えてください。⑶で微分するので微分せずに求めると思うのですが

て 6 問題 1) y=げ(z) = は実数直線 (-oo, oo) 上で狭義単調増加, 7.6., zi < zz > (zi) < (ze)。 であることを示してください、 6 2) = 7(z) は奇関数であることを示し, そのグラフの概形を描いてください. 3) y=ナ(<) の逆関数とその導関数を求めてください.