一部、高校数学の範囲外になりますが
簡単に まとめてみました。
そもそも、媒介変数表示は勝手に作ることができます。
一通りとも限りません。
なので、例に挙げた 2 つの関数も媒介変数表示可能です。
例えば、x² = 4py を y = x²/4p と変形すると
x = t
y = t²/4p
のように、t を媒介変数として表示できます。
（わざわざ、この表示にする意味があるとは思いませんが）
他にも、こんな表示もできるみたいです。
x = 2pt
y = pt²
双曲線 x²/a² - y²/b² = -1 の場合には
双曲線関数 sinh, cosh という関数を使って表示できます。
x = a sinh(t)
y = b cosh(t)
双曲線関数は
sinh(t)² - cosh(t)² = -1
のような性質があります。
