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Think
例題 B1.56 n を含む確率(2)
”を2以上の整数とする. 中の見えない袋に2n個の玉が
取り出して、先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする。 取り出した玉は元
そのうち3個が赤で残りが白とする. A君とB君が交互に1個ずつ玉を
に戻さないとする. A君が先に取り始めるとき, B君が勝つ確率を求めよ.
83)(東北大)
一般
考え方 B君が勝つ場合、玉を取り出す回数は偶数回であり、 最後の1回が赤玉で,それ以外
は白玉である.また, 2n個の玉の中に赤玉が3個入っているので,交互に(n-1)回
ずつまでの取り出し方が考えられる世界は3つ(0)
Ho
解答
2n個のうち、赤玉は3個, 白玉は (2n-3)個である.
B君が1回目の取り出しで赤玉を取り出す確率は,まず,
A君が2個の中から (23) 個ある白玉のうち1個を取り
2n-3 3
出し、続いてB君が残り (2n-1) 個の中から, 3個ある赤玉
のうち1個を取り出すから, その確率は,
2n
2n-1
Focus
羽
(n-1) 回目で初め
同様に, B君が2回目 3回目 ....
て赤玉を取り出す確率をそれぞれ考えればよい。
したがって、求める確率を とすると n≧3のとき,
2n-3
(2n-3 2n2n-53
2n 2n-12n-2 2n-3
+
2n 2n-Ⅰ
3
2n (2n-1)
例時
3回目
2n-3 2n-4/2n-5 2n-6
2n 2n-12n-2 2n-3
1回目
2回目
2n-3 2n-4 2n-5 2n-6/2n-7
2n 2n-12n-22n-3 2n-4 2n-5)
(n-1) 回目
1
ABLAK
(2n- -3) +
3
2n(2n-1)|
1
4n-5
-(4n²-5n)=
An (2n-1)
4 (2n-1)
これは n=2のときも成り立つ｢一匹
8) S
よって、求める確率は,
4n-5
4(2n-1)
具体的に実験して法則をつかめ
n-2
-Σ2k (2k-1)
2(n-1) k=1
-1)}
(2m-3)+1/(n-2)(2m-3)-1/12(n-2)}
WI(1
3
0.
+......
3
2n個の中に赤玉が
3個入っているので、
交互に(n-1) 回まで
の取り出し方が考え
られる.
B君が2回目で初め
て赤玉を取り出す場
合
-
(白→白)→(白→赤
1回目 2回目
Σ (2k²-k)
k=1
=1/12(m
3
× (2n-3)
1/(n − 2)(n-
-(n − 2)(n-
