重要例
例題
28S2m, S2m-1 に分けて和を求める
n
00000
一般項がαn=(-1)"+1n2で与えられる数列 {an} に対して, n=2とする。
(1) a2k-1+a2k (k=1, 2, 3, ・・・・) をkを用いて表せ。
(2) S= (n=1, 2, 3, …………) と表される。
指針
ak
k=1
(2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから、和は簡単に求められない。
次のように項を2つずつ区切ってみると
Sn=(12-22)+(32-42) + (52-62)+.....
=b1
=b₂ =bs
上のように数列{bm} を定めると, bk=ak-1a2k (kは自然数)である。 よって,m
を自然数とすると
971
m
[1]n が偶数,すなわち n=2mのときはS2m=2bk=2(az-1+a2h)として求め
られる。
k=1
k=1
1
[2] n が奇数, すなわち n=2m-1のときは, Szm=S2m-1+α2m より
S2m1 =S2m-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2m-」 が求められる。
このように,n が偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める