（2）の問題と答えの写真なのですが、2枚目の答えの赤で囲ってある部分がなぜこうなるのかが分かりません。 教えて頂きたいです。

(2) xの2次方程式x2 + 2mx + 3m +10=0･･････ (*) が重解をもつような定数mの値は, カキ ク である。m= のとき, 方程式 (*)の重解はx=ケコである。 9 ク

二次方程式の実数解の個数 (2) 解と係数の関係を使った解き方を教えてください🙇‍♀️

156 基本例題 97 2次方程式の実数解の個数、重解条件 (1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。ただ、中には定数とす (ア) x2-3x+1=0 (イ)x2+6x-2k+1=0 m (2) xの2次方程式x2+2mx+3m+10=0が重解をもつとき,定数, p.149 基本事項 ② めよ。 また, そのときの方程式の解を求めよ。 指針 (1) 2次方程式 ax²+bx+c=0 (a,b,c は実数) の実数解の個数は,判別式 D=6²-4ac の符号で決まる。 D>0⇔2個 O (イ) D がんの1次式になるから, kの値によって,場合を分けて答える。 (2) 2次方程式が重解をもつ⇔D=0 によって得られるm の方程式を解く。 D<00個 D=0⇔1個 解答 (1) 与えられた2次方程式の判別式をDとする。 (ア) D=(-3)²-4・1・1=9-4=5 D>0 であるから、 実数解の個数は 2個 (イ) D=32-1(-2k+1)=2k+8=2(k+4) よって,実数解の個数は,次のようになる。 D0 すなわち k>-4のとき D = 0 すなわち k=-4のとき D<0 すなわち k<-4のとき 2) この2次方程式の判別式をDとすると x=- 2次方程式 ax²+bx+c=0が重解をもつとき,その重解はx=- D = bac を使う方が、計算が なお,xの係数6が6= 25' (2の倍数) のときは, くになる。 ← (1) の(イ)(2) 4 2m 2･1 750 =-m 2個 1個 0個 m=-2のとき重解はx=2, m=5 のとき 重解はx=-5 b 2a D=0 よってm=-2,5 D =m²-1(3m+10)=m²-3m-10=(m+2)(m-500 4 重解をもつための必要十分条件は すなわち (m+2)(m-5)=0 また、重解は したがって 0-(3-5) とみて D 4 の値 2次方程式をし x2+2・3x-2k+1=0 また (p.149 参照) 基 ぞれ 26' 20 (1 を計算している 指 2次方程式 ax²+2b'x+c=0 の重角 b'

円と放物線の共有点についての質問です。 【水色部分のようなことが起こってしまう】ということは分かりましたが【重解を持っていないのに接する】と言う状況がなぜ起こってしまうのか理由を分かりやすく教えてください🙇🏼‍♂️

2° 3° 円と放物線の位置関係 放物線 (2次関数のグラフ) の軸上に 中心がある円がその放物線と接するとき, 位置関係について 右図 の4タイプが考えられる.1°~3°は放物線の頂点が円周上にあるタ イプである. 入試では, 1° と 4° の内接タイプがよく出題される. 円と放物線 の式を連立させてェを消去すると,1°~4°のすべてについてyの2 接点は頂点 次方程式となる。 4°のタイプはyの重解条件でとらえることがで きる。 しかし, 1°~3°は,yの重解条件でとらえることができないことに注意しよう。 放物線y=x2① ㎡2+(y-a)²=r2...... ② が異なる2点で 4°を重解条件でとらえる 接するための条件は、 ①, ②からxを消去して得られる」の2次方程式が, >0 に重解をもつことであ る. 4°はこのように重解条件でとらえることができる. 上の人を説明しよう.例えば②がx2+(y-1)2=1の場合, ①と②は原点で接するが, ①と②から を消去して得られる」の2次方程式y2-y=0は重解をもたない. したがって､ 安易に接する⇔ 重解条件’ としてはいけない. [詳しくは, 「教科書 Next 図形と方程式の集中講義」§17]

定数のkは求められたのですが、重解の求め方が分かりません。 もしわかる方いたら解説・解答をお願いしたいです😭 【高1｜数II｜複素数と方程式】 です

2次お程式 3215kx+2kか重解へとき、 定数っkともの全解を走めよ。

12番13番共に教えて頂きたいです🙇‍♀️ 全然わかりません😭 答え2枚目載っています。 宜しくお願いします。

12 放物線 y=x。 と直線 y=2x+kが接するとき, 定数k の値を求めよ。 J13 放物線 y=x?-3x と直線y=x+kが接するとき,定数kの値を求めよ。また,そのと きの接点の座標を求めよ。

137教えてください

23 方程式への応用 基本問題 & 解法のポイント 37 aを実数として, 方程式 2x°-3ax"+8=0 が 0SxS3 の範囲に少なくとも1個の実数解 をもつように,aの範囲を定めよ。 38 多項式f(x) について, f(x) が (x-α)° で割り切れるとき 方程式の実数解の個数 グラフの共有点の個数を調べる。 (関数の増滅を利用) 例題 19 整方程式の重解条件 f(x)=0 が m重解αをもっ →f(x)=(xーe)"g(x), g(x) は多項式, g(α)20 指針 解答 f(a)=f"'(a)=0 であることを証明せよ。 は, のク A fC f137 f (x)3De"*sinx(ただし, x>0)であるとする。 ここで, eは自然対数の底で ある。 (1) f(x) の最大値と最小値およびそのときのxの値を求めよ。 (2) 方程式 f(x)=a の異なる実数解が2個であるとき, aの範囲を求めよ。 ただし, a>0 とする。 (19 甲南大) 138 a, bを実数とする。f(x)=D2/1+x°-ax° とし, xについての方程式 f(x)=Db を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2) 方程式 f(x)=6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a, b)の 範囲を図示せよ。 (16 金沢大) 139(x)= logx (x>0)とする。 X (1) (x)の増減を調べ, 極値を求めよ。

下の142.143番の問題の解き方がわかりません🥲 解説を読んだのですが、なぜ判別式Dに代入したあと4(2-m)のような形になるかわかりません。(142番で例えています) どのようにして、何故そのように解くのかを教えてください🙏🏻

用 62 第3章 2次関数 テーマ 53 2次方程式の解の判別 標準 2次方程式 x°-8x+m=0について, 次の問いに答えよ。 (1) 異なる2つの実数解をもつとき, 定数 mの値の範囲を求めよ。 2 実数解をもたないとき,定数 m の値の範囲を求めよ。 2次方程式 ax?+bx+c=0 の判別式をDとすると 異なる2つの実数解をもつ → D>0 → D<0 考え方 実数解をもたない この2次方程式の判別式をDとすると D=(-8)°-4·1·m=4(16-m) 解答 (1) 異なる2つの実数解をもつのは D>0 のときであるから 4(16-m)>0 これを解いて m<16 2 実数解をもたないのは D<0 のときであるから 4(16-m)<0 これを解いてm>16 答 Www (練習 142 2次方程式 x?-2x+m-130 について, 次の問いに答えよ。 (1) 異なる2つの実数解をもつとき, 定数 m の値の範囲を求めよ。 2 実数解をもたないとき, 定数mの値の範囲を求めよ。 テーマ 54 2次方程式の重解条件 標準 2次方程式 x°-6x+m=0 が重解をもつとき, 定数 m の値を求めよ。 また,そのときの重解を求めよ。 2次方程式 ax°+bx+c=0 について, 判別式をDとすると, この2次方程式が 重解をもつのは D=0 のときである。 考え方 この2次方程式の判別式を Dとすると 重解をもつのは D=0 のときであるから これを解いて m=9 のとき, 方程式は したがって,重解は D=(-6)°-4-1·m=4(9-m) 4(9-m)=0 解答 m=9 答 x°-6x+9=0 ←(x-3)*=0 x=3 答 (補足) b 2次方程式 ax°+bx+c=0 が重解をもつとき, 重解は x=- 2a であることを利用してもよい。 習 143 次の2次方程式が重解をもつとき, 定数mの値を求めよ。また。 そのときの重解を求めよ。 (1) xーx+m==0 x*+mx+16=0

数3 二次曲線 オレンジの四角で囲んである部分(画像) なぜこのような工程があるのですか？無くても解ける気がします。 解説よろしくお願い致します。

例題21 楕円の2接線が直交する点の軌跡 0 =1…O に引いた2本の接線が直交する。 点P(b, q) から楕円 23 双田線の性質 の 4 の き,点Pの軌跡を求めよ。 = -4(mp-q)° + 4(4m° + 1) 1 =4((4-が)m+2bqm+1-q} 章 (4-が)m° +2pqm +1-°= 0 ④ こ よって 4-がキ0 であるから, m についての2次方程式④の 2つの解を mi, m, とすると, m,, m, は2本の接線の傾 きを表す。 2本の接線が直交するとき m,mg =-1 であり,解と 軌跡の問題である。 の本 Dキ±2 より 4-がキ0 I 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。 →hgの関係式を求めたい。 4 AP(b, q) 2 与えられた条件を式で表す。 未知のものを文字でおく 1- ら 4-が 0 係数の関係より Mim2 2本の接線の傾きを考える。 →接線を yーq=m(x-p)…2 の形でおく。 条件の言い換え 《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ 例題 20 2x Aclion よって 1- 4-が が+ポ=D5(カキ±2) ここで,④の判別式を D。とすると =-1 Ae o のと2を連立した方程式を③とすると の 00 4 D。 =が+4q°-4 4が+=5 より =5- mの2次方程式 ①と②が接する →(3の判別式)= 0 …④ = 3q°+1>0 条件の 0 ゆえに,すべてのqについて④ は 異なる2つの実数解をもつ。 1点Pが楕円の外部にある とき が+4g°>4より D,>0 となり ④は2つ の実数解をもつ,と考え てもよい。 -2 2次を (接線が2本ある →0を満たす実数 m が2つある。 F+xm) よって,息Pの軌跡は x°+ y° =5(xキ ±2) 「m, m, とすると 条件のより mim, = -10=D ケ 3 2の式から, q以外の文字を消去して,か, qの式を導く。さケ 0 イ)で求めた軌跡に(ア)の 4点を加えると 円x+y=5 全体とな 除外点がないか調べる。 (ア),(イ)より,求める点Pの軌跡は した円x+°=5 5 るす S左呼 大式大9 開(ア) 点Pを通る直線 x=D p が楕円 に接するとき よって,4点(2,1), (2, -1), (-2, 1),(-2, -1) から, 直交 する楕円の接線 x= ±2, y= ±1(複号任意) が引ける。 (イ)pキ±2 のとき 接線はy軸と平行でないから, 点 Pを通る直線は V5 オx 1 る。 p= ±2 4点Pを通る直線は -2 02- ロ x=p または PA -1 yーq= m(x-p) 頂点における接線 x= ±2, y=±1(複号 任意)の交点である。 0 ー5 ケの せ Point 楕円の2接線が直交する点の軌跡 例題 20 の Point (2) で学習したように 放物線C に引いた2本の接線が直交す るような点Pの軌跡は放物線Cの準 線である。 tー方, 例題 21 で学習したように, 楕円 Cに引いた2本の接線が直交するよう な点Pの軌跡は円となる。 この円を楕 円Cの準円という。 図1 図2 P/ 準円 P 3階隊 o C y= m(x-p)+q とおける。 の, 2 を連立すると …2 の 準線) yーq= m(x-p) 0 る ( (例) x+ 4{m(x-p)+q}° = 4 (Am?+ 1)x-8m(mp-q)x+4{(mp-)-3=0· 44m +1+0 より,③は 一般に,楕円 + =1 の準円は x+y? = α'+6となる。 楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式③の判別式 を D,とすると D、= 0 |xの2次方程式である。 D、 = 16m°(mp-q)°-4(4m° + 1){(mp-g)'-1} r O~ 4 練習21 楕円 2:x+ y=2…① に引いた2本の接線が直交するとき,その交点Pの 曲跡を求めカ上 |22次曲線と直線 最考のプロセス

すみません解説お願いします。

|4 2次方程式ーkx+k+8=0が重解をもつとき、定数kの値と、そのときの重解の 組合せとして、正しいものはどれか。 (1) k=-8 オ= 4 (2) k= 8 x=ー4 (3) k= 8 4 (4) k=-4 スニ x= 2 (5) と= 4 オーー2

線を引いた部分の意味がわからないです なぜその時二重解を持つ条件になるのでしょうか

105 基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件 OOOO0 3次方程式x°+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定 めよ。 ( 類東北学院大) 基本 63 指針> 方程式(x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また, 方程式(x+2)(x-2)=0 の解x=-2を,この方程式の 3重解 という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)3D0 の形に直す。 方程式が(x-a)(x?+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x+px+q=0が重解をもち, その重解は xキα [2]_x°+px+q=0がαとa以外の解をもつ。 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが,重解がxキαである(x=αが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 2章 → 2重解は x=a 11 であ て、 り立 解答 与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると (x-4)a+x°-2.x°=0 イ次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 よって, P(x) はx-2を因 立 ) ( (x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0 (x-2){x?+(x+2)a}=0 (x-2)(x°+ax+2a)=0 x-2=0 または x°+ax+2a=0 この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] または [2] の場 数にもつ。 よって これを利用して因数分解し てもよい。 0-2+0 0-2+ 合である。 [1] x+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。 a 42次方程式 Ax+ Bx+C=0 の重解は B 24 (1-) 判別式をDとすると D=0 かつ - キ2 2-1 みよ。 D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とすると a=0, 8 X=ー a ここで、 キ2から 2-1 aキー4 a=0, 8 はaキー4を満たす。 [2] x+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は [2] 他の解が2でない, とい う条件を次のように考えても よい。 他の解をBとすると, 解と 係数の関係から28=2a Bキ2から aキ2 22+a·2+2a=0 a=-1 (x-2)(x-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 したがって ゆえに,x=2 は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 ①について 練習 aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0 65 (1) が2重解をもつように, aの値を定めよ。 (2) ① が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。 高次方程 式