Question

momochy

線を引いた部分の意味がわからないです
なぜその時二重解を持つ条件になるのでしょうか

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基本例題65
3次方程式が2重解をもつ条件
OOOO0
3次方程式x°+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定
めよ。
( 類東北学院大)
基本 63
指針> 方程式(x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また,
方程式(x+2)(x-2)=0 の解x=-2を,この方程式の 3重解 という。
まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)3D0 の形に直す。
方程式が(x-a)(x?+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は
[1] x+px+q=0が重解をもち, その重解は xキα
[2]_x°+px+q=0がαとa以外の解をもつ。
であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。
なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが,重解がxキαである(x=αが3重解で
はない)ことを必ず確認するように。
2章
→ 2重解は x=a
11
であ
て、
り立
解答
与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると
(x-4)a+x°-2.x°=0
イ次数が最低のaについて
整理する。また
P(x)=x°+(a-2)x-4a
とすると P(2)=0
よって, P(x) はx-2を因
立 ) (
(x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0
(x-2){x?+(x+2)a}=0
(x-2)(x°+ax+2a)=0
x-2=0 または x°+ax+2a=0
この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] または [2] の場
数にもつ。
よって
これを利用して因数分解し
てもよい。
0-2+0
0-2+
合である。
[1] x+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。
a
42次方程式
Ax+ Bx+C=0 の重解は
B
24 (1-)
判別式をDとすると
D=0 かつ - キ2
2-1
みよ。
D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とすると a=0, 8
X=ー
a
ここで、
キ2から
2-1
aキー4
a=0, 8 はaキー4を満たす。
[2] x+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。
2が解であるための条件は
これを解いて
このとき,方程式は
[2] 他の解が2でない, とい
う条件を次のように考えても
よい。
他の解をBとすると, 解と
係数の関係から28=2a
Bキ2から aキ2
22+a·2+2a=0
a=-1
(x-2)(x-x-2)=0
(x-2)(x+1)=0
したがって
ゆえに,x=2 は2重解である。
以上から
a=-1, 0, 8
①について
練習
aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0
65 (1)
が2重解をもつように, aの値を定めよ。
(2) ① が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。
高次方程 式

Answer 1

ゲストあ

簡単でよければ！
組み合わせの問題です。
二重解の場合
(x-●)^2(x-▲)=0
の形を作りたいので
この●=2になるのか、▲=2になるのかの2通りを考えなくてはいけません。
(x-2)(x^2+ax+2a)=0

［1］●=2の場合
［2］▲=2の場合

つまり左の二次方程式の2つの答えに2が入るか入んないか考えたら分かりやすいと思います