軍数列を解く時のコツってなんですか？何からやればいいのか分からないです

1から順に並べた自然数を 12, 34, 5, 6, 7/8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1516, のように,第n群 (n=1, 2, ...) が2"-1 個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3)3000 は第何群の何番目にあるか. 精講 ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数 列を考えるときは, 「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」 と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数 に着目します. 解答 (1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて 各群の最後の数が基 (1+2+..+2"-2) 項目 . 準 第 (n-1) 群 2-1-1- 第n 群 ***, 3000, 2"-1 2-1 ここで,2''=2048, 22=4096 だから 2" <3000<212 ∴.n=12 よって, 第12群に含まれている。 第 (n+1) 群 このとき,第11群の最後の数は, 2"-1=2047 だから, 2n 注1.第12群に含まれているとき, 第12群の最初の数に着目すると 3000-2047=953 より, 3000は第12群の953番目にある. 3000-2048と計算しないといけません. 逆にひき算をすると答 がちがってしまいます。 注2 (3) 2行目の 2"-130002"は2" ' 3000≦2"-1 でも、 2-1-1<3000≦2"-1 でもよいのですが,(1)を利用すれば解答の形に なるでしょう。 注3.(1),(2)はnに具体的な数字を入れることによって検算が可能です。 ポイント すなわち, 2-1-1) 項目だからその数字は 2"-1-1 等比数列の和の公式 を用いて計算する よって,第n群の最初の数は (2-1-1)+1=2"-1 (2)(1)より第n群に含まれる数は 初項 2-1 公差 1, 項数 2"-1の等差数列. よって, 求める総和は 11.2"-1{2.2" '+ (2"-1-1)・1} 2 =2"-2(2・2"-'+2"-1-1)=2"(321) 解) 2行目は初項 27-1 主 演習問題 131 もとの数列に規則のある群数列は, I. 第n群に含まれる頃の数を用意し Ⅱ. 各群の最後の数に着目し Ⅲ. はじめから数えて何項目か と考える 1から順に並べた自然数を 1|2, 34, 5, 6|7, 8, 9, 10|11, 12, 13, 14, 15/16,

青いところの式の変換が分かりません

3つの不等式≧ 0, y≧0 2x+y/2n (nは目然数)で表さ れる領域をDとする. (1) Dに含まれ, 直線 x=k (k=0, 1, ..., n) 上にある格子点) (x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ。 (2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ. 精講 計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。こ れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて 上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば, 直線 y=k でもできそうに書いてありますが、 こちらを 使った解答は (別解) で確認してください。 解答 (1) 直線 x=k上にある格子点は 2n x=k (k, 0), (k, 1), …, (k, 2n-2k) の (2n-2k+1) 個. 2n-2k 注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります. (2)(1)の結果に,k= 0, 1, ..., n を代入して, すべ て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数. 0 I n 2 (2n-2k+1) 22 = k=0 n+1 {(2n+1)+1} 2 =(n+1)2 ◆等差数列で ◆等差数列の和の公式 注 計算をする式がんの1次式のとき、その式は等差数列の和を しているので、12/2(a+αm) (Ⅲ)を使って計算していますが、もら ろん、(2n+1)-2々として計算してもかまいません。 k=0

（1）のところで2つ質問です。　 ①【ヒント】のところに書いてある総和を出すところで波線を引いているところがわからないです。 ②最後の総和は全て足し算なのではないですか？何故かけ算なのですか？

(1) 540 の正の約数の個数を求めよ。 ただし, 1 および 540 も, 540 の約数 (久留米大*) である。さらに,これら約数の総和を求めよ。 (2) 2"5" (m, n は整数) の形の整数で100以下であるものはア個あり、 (長岡技科大) それらの総和はイである。 ヒント! (1) 540=22×33×5と素因数分解すると, 約数の個数が計算できる。 その総和は等比数列の和の積の形になる。 参考 18の約数の個数について, 0,1 0,1,2 18=20×32より, (i) 2 の指数は0,1と2通りに, (ii) 3の指数は 0,1,2と3通りに 変化する。 ∴約数の個数は2×3=6個ある。 次に,これらの約数の総和は, 2°×3°+2°×3'+2x32 {2°の系列 +2' × 3° +2' × 3' +2'×32-2′の系列 =2°(3°+3'+32) +2'(3°+3' +32 ) =(2°+2')(3°+3'+3') (キレイな形!) =(1+2)(1+3+32) =39 となる。 (1)540 を素因数分解して (0, 1, 2) (0, 1, 2, 3] (0, 1 540=22x30x50 よって, 540 の約数の個数は, 3 × 4×2= 24 さらに,これら24個の約数の総和S は, S=2° 3°.5°+2°35' . + 2° 3′.5° + 2°3'5' +2233.5°+22・3'5' なんでかけ算? これをまとめて キレイな形 S=(1+2+22) (1+3+3²+3)(1 =7×40×6=1680........ (2) 2"5" ≦100(m,n:0以上の整数 これは整数なので,m,n が負に なることはない (i)n=0のとき, 2" ・5°=2" ≤ 10 m=0,1,2,3,4,5,6 の7通 (ii) n=1のとき、2" 5' = 5.2" s • m=0,1,2,3,4の5通り () n=2のとき,"52=252" m=0,1,2の3通り 以上(i)(i)(Ⅲ)より,求める2" の形の整数で100以下のものは, 7 +5 + 3 = 15個存在する。・・・(ア) 次にこれらの総和Tは, T=5°(2°+2'+2' + ･･･ + 2° + 5'(2° + 2 ' + … + 2 + 52(2° +2'+22) =(1+2+4+8 + 16 +32 + 64 +5 (1 + 2 +4 +8 +16) + 25 · ( 1 + 2 + 4 ) = 127 + 155 + 175 =457...(イ)・

左の画像のシグマの計算について、右の画像のように解いてみたのですが、正しい答えが出ませんでした。 どこで間違えているのか分からないので教えて頂けませんか？🙇🏻‍♀️🙏

(2Xi) 和をとる数列の第ん項はん (k+1) なので,求める和は kk+1)=(k+k2)展開して和の形を作る k=1 n k=1 慣れれば一気 にこの式を書 =k³+ k²- 和の性質A k=1 k=1 いてしまう =1n(n+1)+1/23n(n+1)(2n+1)、 n(n+1){3n(n+1)+2(2n+1)} = 12 = 12 n(n+1)(3m²+7n+2) 12n(n+1) (n+2)(3n+1) 和の公式 ③ ④ 1 1n(n+1)でくくる 3n2+7n+2 =(n+2)(3n+1) 3 1—1 1 2-6 7

赤線部において、-n・2ⁿが出てくるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️🙏

応用 次の和Sを求めよ。 例題 4 S=1・1+2・2+3+......+n.2n-1 考え方 19ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。 ここでは, S と2S の差を計算する。 S=1・1+2・2+3・22+ 4・2°+･･････ 解答 x2 2S= 1・2+2・22+3・2+....+(n-1)・2"-1+え・2" の辺々を引くと S-2S=1+2+2+2+ •••••• +2"-1-n.2n 2"-1 よって -S= --n⋅2" 2-1 したがって S=n.2"-(2-1)=(n-1)・2"+1

赤線部において、(n-1)が出てくるのは何故ですか？🙏🙇🏻‍♀️

応用 例題 10 4 くのよ。 S=1・1+2・2+3+・・・・・・+n.2n-1 考え方 19ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。ここでは,S 解答 と2S の差を計算する。 S=1・1+2・2+3・2+4・2+･+n・2"-1 -1 1•2+2•2²+3•2³+......+(n−1)• 2n−1 + n•2″ 2-1 2S= 15 の辺々を引くと S-2S=1+2+2+2°+…………+2"-1-n・2" よって -S= したがって 立つ。 S=n.2"-(2"-1)=(n-1).21 2-1-n-2" 結羽 次の和を求め上 15

この二ページ目のセソタチについて質問で、3ページの方に（段違いになって申し訳ないのですが）信頼区間に当てはめて幅を考えているようなのですが、2はどこから来たものでしょうか？標準偏差をかけているのでしょうか。 公式を見た感じかける所がないので質問させて頂きました！ 解説お願い... 続きを読む

数学Ⅱ・数学B・数学C (2) あゆさんたちは、 自分と同じクラスの人たちが持っている,今人気のあるアー ティストの音楽のCDの枚数を知ることができたが、 現在の日本の高校生が持っ しているそのアーティストのCDの枚数が知りたくなった。 しかし, 日本の高校生 全員にアンケートをとることは大変な手間がかかるし, 現実的ではない。 そこで, SNSを使って日本の高校生の中から100人を無作為に選んでアンケートをとった。 その結果,平均3標準偏差2ということがわかった。 このことからあゆさんたち は、日本の高校生全員を母集団としたとき,母平均を推定することにした。 (i) 日本の高校生全員を母集団とし,その中からSNSを使って100人の標本を無 作為抽出したとみなす。 母集団において、持っているCDの枚数をXとし,確率 ク 標本の標 変数Xの分布において, 母平均をm, 母標準偏差をとする。SNSを使って無 作為抽出した100人の標本の標本平均Xの平均は,E(X)= 準偏差は, (X)= ケ となる。 ク ケ に当てはまる最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一 つずつ選べ。 ⑩ √m ①m m² ③ 0 ④ 0 0 ⑤ 10 10 100 (ii) 標本の大きさ100が大きいので,標本平均 X の分布は, コ とみなすこと ができる。 Xを標準化した確率変数 Z= サ の分布は標準正規分布となる。 コ サ に当てはまる最も適当なものを,次の①~⑤のうちから つずつ選べ。 Ⓡ N(m, 10) ①N(m, 1000) 2 2 ②Nm, 10000 ③ X-m 0 √10 ④ X-m ⑤ X-m 0 10 100

この問題を授業で習った時に2枚目の写真の式に変形できると習いましたが何故cosなのですか？写し間違いか先生のミスなどですか？

2π m, n は自然数とする。定積分 2 sin mtsinntdt を, m≠n,m=n の場合に分けて求めよ。

次の問題の青い線の移り変わりが分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の数列の和を求めよ。 思考プロセス S = 1.1+3・3+5・32 + 7.3 + +(2n-1)・3n-1 既知の問題に帰着 一般項 (2n-1)3"-1の和 (等差数列)・(等比数列) 等比数列の和の公式の導き方と同様に求める。 (Point参照 ) ×(公比) ( S = 1・1+3・3+5・32+7・3°+ ... + (2n-1)・3-1 -) 35 = - 2S=1・1+( 等比数列の和 )-(2n-1) 3r 1・3 + 3・3° + 5・3° + + (2n-3)・3-1+ (2n-1)・3 Action》 (等差数列) × (等比数列) の和Sは, S-S を計算せよ 解 S = 1.1+3・3+5・3 + ･･･+(2n-1)・3n-1 ①の両辺に3を掛けると 3S = = ① ② より ① 1.3 + 33° + + (2n-3)・3n-1+ (2n-1)・3 ② -2S = 1・1+ 2 3 + 2・3 + +2.3"-1-(2n-1)3" =1+2(3+32 + +3"-1)-(2n-1)・3" 3(3-1-1) =1+2・ (2n-1).3n 3-1 =3"-2-(2n-1) 3 =-2(n-1)・3-2 ② したがって S= (n-1)3" + 1 の符号に 3 +3 +... + 3,公比3, この等比数列の とくに数

赤線で引いたところは、『1回目には金額x万円払ったが19年後にはそのx万円が実際よりも多く返されていることになる』という解釈で正しいでしょうか？

等比数列を用いて, 日常に行われている積立金や借り入れ金の計算をすることがで その後毎年同額ずつ支払い, 20年後に返済を完了する。 1年ごとの複利法で計算す きます。 例えば, 年利率5%で1000万円を借り、 1年後より第1回目の返済を始め、 るとき, 毎年支払う金額を求めてみよう。 まず, 1000万円を20年間借りたままだったときの元利合計 はいくらになりますか。 1.0520 = 2.65 として計算してくださ い。 元利合計をS とすると です。 S₁ = 1000 x 1.0520 2650 (万円) そうです。 では次に、毎年支払う金額をx万円として,それを年 利率 5%で毎年積み立てると, 20回目を積み立てたときに合計金 額がいくらになるか求めてみてください。 合計金額を S とすると, 1回目に支払った金額は19年間積み立 てたことになり、2回目のものは, 18年間積み立てたことになる から、以下同様に考えると, 等比数列の和の公式を利用して S₂ = x x 1.0519+ x x 1.0518+...+xx 1.05+x x (1.0520-1) 1.05-1 となります。 xx 1.65 =33x(万円) 0.05 よくできました。 それでは, 20年間で返済が完了するとき xの値を求めてみましょう。 S1 = S2 となればよいので, 2650=33x より x = 80.3030・・・ よって、 毎年約 80.3万円支払うと, 20年で返済できることになります。 毎年約80.3万円支払うから、20年間で約1606万円支払うことに なります。 約606万円が利息になるわけです。 お金を借りるときは,このようなことをしっかりと考えて、判断 しないといけませんね。