1から順に並べた自然数を
12, 34, 5, 6, 7/8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1516,
のように,第n群 (n=1, 2, ...) が2"-1 個の数を含むように分け
る.
(1) 第n群の最初の数をnで表せ.
(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ.
(3)3000 は第何群の何番目にあるか.
精講
ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数
列を考えるときは,
「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」
と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数
に着目します.
解答
(1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて 各群の最後の数が基
(1+2+..+2"-2) 項目 .
準
第 (n-1) 群
2-1-1-
第n 群
***, 3000,
2"-1
2-1
ここで,2''=2048, 22=4096 だから
2" <3000<212 ∴.n=12
よって, 第12群に含まれている。
第 (n+1) 群
このとき,第11群の最後の数は, 2"-1=2047 だから,
2n
注1.第12群に含まれているとき, 第12群の最初の数に着目すると
3000-2047=953 より, 3000は第12群の953番目にある.
3000-2048と計算しないといけません. 逆にひき算をすると答
がちがってしまいます。
注2 (3) 2行目の 2"-130002"は2" ' 3000≦2"-1 でも、
2-1-1<3000≦2"-1 でもよいのですが,(1)を利用すれば解答の形に
なるでしょう。
注3.(1),(2)はnに具体的な数字を入れることによって検算が可能です。
ポイント
すなわち, 2-1-1) 項目だからその数字は
2"-1-1
等比数列の和の公式
を用いて計算する
よって,第n群の最初の数は
(2-1-1)+1=2"-1
(2)(1)より第n群に含まれる数は
初項 2-1 公差 1, 項数 2"-1の等差数列.
よって, 求める総和は
11.2"-1{2.2" '+ (2"-1-1)・1}
2
=2"-2(2・2"-'+2"-1-1)=2"(321)
解) 2行目は初項 27-1 主
演習問題 131
もとの数列に規則のある群数列は,
I. 第n群に含まれる頃の数を用意し
Ⅱ. 各群の最後の数に着目し
Ⅲ. はじめから数えて何項目か
と考える
1から順に並べた自然数を
1|2, 34, 5, 6|7, 8, 9, 10|11, 12, 13, 14, 15/16,
