a b c dの条件?って書いた方がいいですよね? 二乗の和の公式の証明です。

2 STR² = 左:1 f()とする。 f(n+1)-f(x)=(n+1 2 ( f()がnの多項式である。 仮定すると①、 fa) = an²+bn2tcntd と表せる。 このとき f(ntl)-fu) 2 - a four-az + b fat) - in + c{(net) - n} 2 +d-o a(3+3n+1)+(2nel) b +C Ad & b n +a+ b + 2

この解答の途中式教えてください。なんでこれ出てきた？なんでこれ無くなった？と思うところがたくさんあります、、。

応用 例題 4 次の和Sを求めよ。 S=1・1+2・2+3･22+......+n.2n-1 考え方 21 ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。 解答 S=1·1+2.2+3·22+4.23+...... + n.2n-1 両辺に2を掛けて 2S= 1・2+2・22+3・2°+…+(n-1) ・2"-1+n・2" これらの式の辺々を引くと S-2S = 1 + 2 + 22 + 2 + •••••• + 2n-1-n2" 2"-1 よって -S= -n.2" 2-1 したがって S=-(2"-1)+n2"=(n-1)・2"+1

(2)の最後はなぜ2のｎ乗になるのでしょうかn-1乗ではないのでしょうか？

= =((2n²+3n+1)-6n-6+18} 6 ———-n (2n² - 3n+13) = (2) 与えられた数列の階差数列をとると, 1, 2, 4, 8, となる. *** これは,初頭 1, 公比2の等比数列だから |展開 因数 第n項は、 2"-1 [115] よって, 求める数列の一般項は, n≧2 のとき n-1 2+Σ2k-1=2+- 2-1-1 -=2"-1+1 119] k=1 これは, n=1のときも含む. よって, 初項から第n項までの和は n n 21+1=2 1 1 2-1 【吟味 [119] k=1 k=1 k=1 2"-1 2-1 +n=2"+n-1 20-1-1 n ? -T

この問題なんですが、n＝k +1ってどこから出てきたんですか……？

視点 証明 正 数学的帰納法による等式の証明 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1 +3 +5 + ･･･+(2n-1)=n2 ① 19ページでは ①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。 数学的帰納法を用いることでも①を証明できるだろうか。 [1]n=1のとき (左辺) = 1 (右辺)=12=1 よって, ① はn=1のとき成り立つ。 [2] ①がn=kのとき成り立つ,すなわち 1+3+5+ ･･･+(2k-1)=k ② と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき, ①の左辺を ② を用いて変形すると 1 +3 +5 + ･･･ + (2k-1)+{2(k+1)-1} 419 == = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k + 1) よって,①は n=k+1のときにも成り立つ。 [1] [2] より,すべての自然数nについて ①が成り立つ。

よっての部分は初項 1が隠れていますか? また、どうしてマイナスで繋がれているのでしょうか？ そもそもよって式を使う理由がわかりません。

応用 次の和Sを求めよ。 例題 4 S=1・1+2・2+･+･･････+n・2n-1 考え方 19ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。ここでは,S と2S の差を計算する。 D S=1・1+2・2+32 + 4・23 +......+n・2"-1 解答 2S= 1・2+2・22+3・2°+………‥+(n-1)・2"-1+n・2" の辺々を引くと S-2S=1+2+2+2+ ...... +2"-1-n・2" 2n-1 20 20 よって -S= -n.2n 2-1009510 したがって S=n2"-(2"-1)=(n-1)・2"+1 練 3 3.

オレンジの蛍光ペンを引いているところと緑の蛍光ペンで引いたところは何か関係があるのでしょうか？ 3.5.15の倍数をそれぞれ出して100から200の範囲で求めても結局足したら同じ300になると思うのですが、偶然なのでしょうか？ どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

1-8 (26) 第1章 数列 Think 例題 B1.5 数列の共通項 **** 100から200までの整数のうち、3または5の倍数の総和を求めよ. 考え方 (3の倍数または5の倍数の総和) =(3の倍数の和)+(5の倍数の和) ( 15の倍数の和) として求めればよい. n を整数とすると, 3の倍数は3で 102 から198 までの数 5の倍数は5m で 100から200までの数 15の倍数は15m で 105から195 までの数 それぞれの和は, 等差数列の和の公式を用いて求める. 3の倍数 15の倍数 -5の倍数 解答 100から200までの整数のうち、3の倍数の和をS1, 3と5の最小公倍数15の 5の倍数の和を S2, 15の倍数の和を S3 とする. 倍数が重複しているので、 3の倍数で最小のものは, 3×34=102 S3も考える. 3の倍数で最大のものは、 3×66-198 100 200 -≤ns- 66-34+1=33 (個) であるから、3の倍数の個数は, したがって, S は、 初項 102. 末項198, 項数33の等 差数列の和だから, 3 を満たす 最大のnは66, 最小の は 34 (6-8)s S₁ =- 133(102+198)=4950 99, 102,..., 198 第33 第34 第66 同様にして, S2 は, 初項 100, 末項 200, 項数21の等 差数列の和だから, 個目 個目 |個目 S2=12121(100+200)=3150 S3 は,初項 105, 末頃 195, 項数7の等差数列の和だ から、 (66-34+1)=(66-33) 個 より, 頭数は33 (33個目までを引く) 100=5×20 101-1200=5×40 S=127(105+195)=1050 よって、求める和をSとすると、 S=S+S2-S3=4950+3150-1050=7050 40-20+1=21 より, 項数は21 105=15×7 195=15×13 13-7+1=7 より,項数は7 Focus んの倍数 自然数の倍数は公差の等差数列

数Bです この紫のとこの式変形が分かりませんお願いします

(3) an+1-an=4" より, 数列{az} の階差数列を {bn} とする bn=an+1-an=4n と よって, n≧2のとき 2a-n-1 n-1 an=a+26k=1+ 24=1+ k=1 k=1 4(4-1-1) 4-1 これ n=1 とすると =P =1+1/2(4"-1-1)=1/32(4-1)……① 1/12(4'-1)=1 α=1であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。 したがって an= =1/12 (41) (*) 58

なぜ(1)、(2)と違って、(3)はx＝1の時やx≠1の時というようにして計算するんですか？ どうやってそのような問題を見分ければいいですか？教えてください🤲

5S= 辺々引 (1) S=1・1+2・5+3.5+ この両辺に5を掛けると 1・5 + 2・52 +・ +-5-1 +(n-1)・5"-1+n・5" -4S=1+5+5°++5"-1-5" よって (1-x)S=1+ 3x(1-x-1) 1-x -(3n-2)x" すなわち (1-x)S= 1+2x-(3n+1)x+(3-2)x+1 1-x よって -4S= 5"-1 5-1 --5" すなわち -4S= (1-4n).5"-1 1+2x- (3n+1)x+ (3-2)x+1 したがって S= (1-x)2 したがって (4-1)-5"+1 S= 16 (2) 2 3 32 S=1+3+ +......+ n 3-1 この両辺を3で割ると - + 2 32 n-1 " `+......+ 3-1 3 + 1 1 " 辺々引くと =1+ + + ......+ 3 32 3"-1 3" 3 " よって H 3. 3" ** --- すなわち 7/23s=3 21 3 3" 3+1-2-3 したがって S= 4.3-1 (3) x=1のとき 3+1-2-3 2.3" S=1+4+7+10 + (3-2)=2(3k-2) =3.1m(n+1)-2=1/12m(3m-1) xキ1のとき S=1+4x+7x2+... +(3-2)x-1 この両辺にを掛けると xS= x+4x²+......+ (3-5)x"-1+(3-2)x" 辺々引くと (1-x)S=1+3(x + x2 + .. +x-1)-(3-2)x"

(2)の問題について質問です。 赤線部のように式を変形できるのはなぜですか？🙏

基礎問 133 格子点の個数 3つの不等式 0, y≧0 2x+y≦2n (nは自然数)で表さ れる領域をDとする. (1)Dに含まれ、直線=k(k=0.1...n)上にある格子点 ( 座標もy座標も整数の点) の個数をんで表せ. (2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ. 精講 計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。 こ れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数 え上げることもできますが、 このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません.その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば,直線 y=k でもできそうに書いてありますが、こちらを 使った解答は (別解) で確認してください。 解答 (1) 直線 x=k 上にある格子点は y 2n |x=k (k, 0), (k, 1), …, (k, 2n-2k) の (2n-2k+1) 個. 2n-2k--- 注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります. (2)(1)の結果に,k=0, 1, ..., n を代入して すべ て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数 . 0 (2n-2k+1) ◆ 等差数列 k=0 n+1 = 2 -{(2n+1)+1} 等差数列の和の公式 =(n+1)2

軍数列を解く時のコツってなんですか？何からやればいいのか分からないです

1から順に並べた自然数を 12, 34, 5, 6, 7/8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1516, のように,第n群 (n=1, 2, ...) が2"-1 個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3)3000 は第何群の何番目にあるか. 精講 ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数 列を考えるときは, 「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」 と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数 に着目します. 解答 (1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて 各群の最後の数が基 (1+2+..+2"-2) 項目 . 準 第 (n-1) 群 2-1-1- 第n 群 ***, 3000, 2"-1 2-1 ここで,2''=2048, 22=4096 だから 2" <3000<212 ∴.n=12 よって, 第12群に含まれている。 第 (n+1) 群 このとき,第11群の最後の数は, 2"-1=2047 だから, 2n 注1.第12群に含まれているとき, 第12群の最初の数に着目すると 3000-2047=953 より, 3000は第12群の953番目にある. 3000-2048と計算しないといけません. 逆にひき算をすると答 がちがってしまいます。 注2 (3) 2行目の 2"-130002"は2" ' 3000≦2"-1 でも、 2-1-1<3000≦2"-1 でもよいのですが,(1)を利用すれば解答の形に なるでしょう。 注3.(1),(2)はnに具体的な数字を入れることによって検算が可能です。 ポイント すなわち, 2-1-1) 項目だからその数字は 2"-1-1 等比数列の和の公式 を用いて計算する よって,第n群の最初の数は (2-1-1)+1=2"-1 (2)(1)より第n群に含まれる数は 初項 2-1 公差 1, 項数 2"-1の等差数列. よって, 求める総和は 11.2"-1{2.2" '+ (2"-1-1)・1} 2 =2"-2(2・2"-'+2"-1-1)=2"(321) 解) 2行目は初項 27-1 主 演習問題 131 もとの数列に規則のある群数列は, I. 第n群に含まれる頃の数を用意し Ⅱ. 各群の最後の数に着目し Ⅲ. はじめから数えて何項目か と考える 1から順に並べた自然数を 1|2, 34, 5, 6|7, 8, 9, 10|11, 12, 13, 14, 15/16,