3
自のす 0
(1) 108 を素数で次々に割っていけば, 以下が得られる。
|2
108 = 2
3
3
よって, 108 の正の約数の個数は
『×E×S
(2+1)-(3+1)=| 12 (個)。
(2) x は自然数.Vx?+108 =y (自然数)とおき, 両辺を2乗すると,
ex"s
M
x2+ 108 = y°.
y?ーx? = 108.
(y+x)(yーx)= 108.
y+x, ターズ は, 積が108, 和が 2y (>0) であるから, ともに正の偶数で
ある。y+x>yー* であることに注意すると, 組(y+x, yーx) は
(54, 2),
(18, 6)
である。したがって, 組(x, y) は
(26, 28),(6, 12)
であるので,x?+108 が整数となるような自然数xは 26 と 6の
2
個あり,その中で最大のものは x=| 26
である。
108x-5y=1
の整数解x, yで, x の絶対値が小さいものから順に調べていくと,
2
y=| 43
がxの絶対値が最小になる整数解である. よって,
108-2-5-43 = 1.
x, yを整数とする. ①-② から
108(x-2)-5(y-43)=0.
108(x-2)=5(y-43).
108 と 5 は互いに素であるから, x-2は5の倍数である. よって, k を整
5 +2-と表される.これを③に何
数として, x-2=5k すなわちx=
入すると,
108-5k=5(y-43) すなわち yー43=108k
