✨ ベストアンサー ✨
ab＞0, a+b＞0であるとき、a,bはともに正である。
(ab＞0ならばa,bは同符号である。同符号の数の和が正であれば、その符号は正である。)
abが偶数かつa+bが偶数であるとき、a,bはともに偶数である。
(abが偶数ならば、a,bの少なくとも一方は偶数である。a+bが偶数となるのは、a,bがともに偶数、またはともに奇数の場合だけだが、少なくとも一方は偶数であるから、ともに奇数となることはない。よって、a,bはともに偶数である。)
以上より、abが正の偶数かつa+bが正の偶数であるとき、a,bはともに正の偶数である。
y+x, y-xの大小を比較するために差をとると、
(y+x)-(y-x)=2x
ここで、xは自然数だから、2x＞0であるので、
y+x＞y-x
である。
108=2²×3³
であり、ともに偶数であるから、どちらも2を因数にもつ。よって、3³の因数分解を考えればよく、その分け方は
(27, 1), (9, 3)
の2通りである。つまり、y+x, y-xの組はそれらに2をかけた
(54, 2), (18, 6)
である。このとき、積が108で、和が正の偶数となることが確認できる。
先程のコメントでした質問なのですが、係数がそろっていない因数分解が出てきたときも同じように解いて大丈夫ですか？ということです。質問が分かりにくかったらすみません🙇♀️
そうですね。a,bが整数であれば上の議論は常に成り立ちます。
つまり、a,bが整数のとき、
「a,bの積および和が偶数ならば、a,bはともに偶数である」
は必ず成り立ちます。
ぜひご自分でも証明してみてください。
偶数と奇数の性質を使えばできます。
「偶数×偶数=偶数
偶数+奇数=奇数」などなど。
偶数→2×整数
奇数→2×整数+1
と表せばわかります。
例)m,nを整数とし、
2m+(2n+1)=2(m+n)+1
→偶数+奇数=奇数
理解できました！ありがとうございます。
値を絞るときにいつも積のことばかり考えていたので、これからは和にも注意して解くようにします。
いつも回答して下さりありがとうございます！
和が偶数になる所なのですが、例えば、(x＋y)(3x-y)＝偶数 や、（X＋2y)(3X＋4y)＝偶数 のように、違うものを掛けていても（今回の問題のように単に＋−が逆転していなくても）足したら偶数かつ積が偶数であれば、どちらも正の偶数であるという話は使っても大丈夫ですか？