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重要
xy
例題
21 内積を利用したux+vy の最大・最小問題
00000
平面上に点A(2,3)をとり、更に単位円x2+y2=1上に点P(x, y) をと
る。また、原点を0とする。 2つのベクトル OA, OP のなす角を0とすると
き内積 OA・OPを0のみで表せ。
(2) 実数x, y が条件 x +y2=1 を満たすとき, 2x+3yの最大値、最小値を求め
指針
[愛知教育大 〕
(1)Pは原点Oを中心とする半径1の円 (単位円) 上の点であるから |OP|=1
(2) (1)は(2)のヒント
A(2,3),P(x, y) に注目すると
2 x +3y = OA・OP
かくれた条件-1≦cos 0≦1 を利用して, OA・OPの最大・最小を考える。
基本11
1
章
3 ベクトルの内積
解答
OA・OP=|OA||OP|cose
=√13cose
(2)x2+y=1 を満たす x,y に
| (1) |OA| =√22+32 = √13, |OP|=1から
YA
A(2,3)
内積の定義に従って計算。
対し, OP = (x,y)
DA = (2,3) として2つのベ
クトル OA, OP のなす角を
とすると, (1) から
-10
1
x
2x+3y=OA・OP=√13cos
200
20°180°より, -1≦cos≦1であるから, 2x+3y の 0=0°のとき最大,
最大値は 13 最小値は13
0=180°のとき最小。
|-|OA||OP|SOA・OP
k
別解 1. 2x+3y=kとおくと
2
y=
-x
3 3
Fonie
|OA||OP|
これをx2+y2=1 に代入し, 整理すると
13x24kx+k2-9=0
......
①
から求めてもよい (p.612
重要例題 19 (1) 参照)。
20
xは実数であるから, xの2次方程式 ① の判別式をD xは実数であるから,x
とすると
D≧0
D =(-2k-13(k-9)=-9(k-13) であるから
k2≦13
よって√13≦k≦√13
別解2. (x,y)= (cos 0, sin01) と表されるから
2次方程式が実数解を
もつ
実数解⇔ D≧
(数学Ⅰ)である
三角関数の合成 ( 数学II)
2x+3y=2cos01+3sinA=√22+32sin(01+α)=√13sin(01+α)
3
2
ただし
COS α= √13
sina=
√13
1main (+α) ≦1であるから -√13≦2x+3y≦√130°≦0,<360°
2
=2を満たすとき, ax + by
