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重要 例題 58 剰余の定理の利用 (3)
(1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき, 定数 α, b の値を求
めよ。
(2) 2以上の整数とするとき, xn-1 を(x-1)2で割ったときの余り
を求めよ。
[ 学習院大 ]
CHART SOLUTION
M=2 + A²
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
1 次数に注目 ② 余りには剰余の定理
(x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q
(1)
n=1 53² (x-1) * 2x22 T0 81/464|1
⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。
(2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α°= 1,6°= 1 である。
|| = (^-A (ar) a²_b² = (a−b) (an-¹+an-²b+an-³p² + ... ... + abr - ² + b² −¹)
4²3
B²² (a Ma² + ab + B
解答
(1) f(x)はx-1 で割り切れるから f(1)=0
1-α+6=0
ゆえに
b=a-1
よって
したがって
f(x)=x-ax+α-1
=(x-1)(x2+x+1-α)
g(x)=x2+x+1-α とすると
ゆえに
g(1)=0
ゆえに a=3
両辺にx=1 を代入すると
0=a+b
よって
3-α=0
これを①に代入して b=2
(2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り
をax+b とすると, 次の等式が成り立つ。
x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+6
よって
PRACTICE･・・ 58 ④
4
x"−1=(x−1)²Q(x)+ ax=a
x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+......+x+1) であるから
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
afr ²5-a
両辺にx=1 を代入すると
よって
a=n
したがって 求める余りは
⑥x-1+x2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α
1+1+ ...... +1+1=a
b=-a=-n
ゆえに
......
SC
nx-n
(1)a,bは定数で、xについての整式
このとき, a h
Last
h=α = b
基本 54
a-1 10
-a+1
10 -a
1
1
11-a +10
4.8+(5)
条件から,g(x) もx-1
で割り切れる。
全
かおる
割り算の基本公式
A=BQ+R
(x-1)2Q(x)+α(x-1)
■1=x であるから、左
の項数はxからx"ートま
での n個
