(2)について質問です。下線を引いているようになぜm+r+1/n≦1とm+r+1/n≧1で場合分けをするのですか？またその後に線を引いている(n-r)k+r(k+1)はどのようにして計算したら出てくるのかも分かりません💦どなたか教えてほしいです

第9章 整数・数学と人間の活動 40 よって、等式①は成り立つ。 (1)〜(曲)より、すべての実数xに対して, 等式①は成り 立つ。 [x]≦x<[x]+1 より [x] <x<[x]+1 n n [x] は整数であるから,[nx] は, nk, nk+1,nk+2, .........nktn-1 (kは整数)のいずれかで表される. [nx]=nk+r(r=0, 1, 2,…, n-1) kt1≦x<k+r+1 とすると,①より ......③ n n ここで,m=0,1,2, …………, n-1 として ③の各辺 に皿を加えると, n m+r m k+ ≦x+ m+r+1 <k+ n n n m+r+1 22 m+r k≦k+ n m n -≦1,すなわち,0≦m≦n-r-1 のとき, -≤ x + <h+ m+r+1 ≦k+1 n より[x+m-k =k n m+r,すなわち, n-r≧m≦n-1のとき, n m k+1≦k+m+rsxt. <k+ n m+r+1 <k+2 n n より,[x+m]=k+1 n したがって, [x]+[x+/-]+[x+2]+... + [x+ n-r n ] + [x x+ n-r n +x+ n. n =(n-r)k+r(k+1)=nk+r また②より よって、等式 [nx]=nktr [x]+[x+2]+[x+2]+....+[x+タリー[28] は成り立つ. 注 (1)において, m = 0, 1, 2 として ktmtr r≤x+. m m+r+1 <h+ のときの [x+7] 3 3 3 3 の他に着目すると, m+r+11 のとき [+] 3 mtr = 21のとき, [x+k+1 m =k r=0 のときは,これを満 すmの値はない。 kとなるのは, [x], n-r k+1となるのは、 n の(n-r) 個 [ x + 1 = 1 ] 0 n- の個

2つの整数解α、β(α≦β)と置く理由がいまいち分かりません。とくにα≦βと置く理由です。 なので、(1)ではそのままα≦βの条件のままkを求めるのに対して、(2)ではα≦βという制限がなくていい理由もピンと来ません。教えてください🙇‍♀️

数学Ⅱ-47 練習 (1) 2次方程式x²ー(k+6)x+6=0の解がすべて整数となるような定数kの値とそのときの整 053 数解をすべて求めよ。 (2) 定数とする。 x2+px+2p=0の2つの解α, βがともに整数となるとき,組 (a, B, p)をすべて求めよ。 (1) 2つの整数解を α, B(α≦B)とする。 解と係数の関係から a+β=k+6,αβ=6 α β は整数であるから, kも整数である。 aβ=6から (a, B)=(-6, -1), (-3, -2), (2, 3), (1, 6) また,k=α+β-6であるから [(2) 類 関西大〕 2 ←重解のとき α=β(1) 練 ←a, B(a≦B) は6の約 - k=-13, 11, -1, 1 数である。 よって k=-13のとき x=-6, -1; k=-11 のとき x=-3, -2; k=1のとき x=2,3; k=1のとき x=1,6 (2) 解と係数の関係から a+β=-p, aβ=2p ...... ① ←第1式から pを消去すると αβ=2{-(a+β)} p=-(a+B) 変形して (α+2) (β+2)=4...... ② ←αβ+2(a+β)+4=4 ここで, p>0であるから, 1 より a+β < 0, aβ > 0 よって α <0.β<0 ←p>0の条件を利用。 ゆえに α+2<2,β+2 <2 α, βがともに整数のとき, α+2, β+2 も整数であるから, ② (a+2, B+2)=(-4, -1), (-2, -2), (-1, -4) よって (a, B)=(-6, -3), (-4, -4), (-3, -6) p = -(a+β) であるから, 求める (α, β, p) の組は (a, B, p)=(-6, -3, 9), (-4, -4, 8), (-3, -6, 9) (1)と同様にα≦βの仮 定をつけて進め, 後から α≦βの制限をはずす, という流れでもよい。

数II 正弦定理・余弦定理です 最後の変換がなぜこうなるのかわかりません😢

Focus 240 第4章 図形と計量 例題123 正弦と余弦の融合 13 87 △ABCにおいて, sin A sin B sin が成り立っている。 (1) cos A, cos B, cos C を求めよ. **** (2) A,B,Cのうち,2番目に大きい角は30°より大きいことを示せ a C=2Rより, b 考え方 (1) 正弦定理 sin A sin B sin C a:b:c=sinA: sin B: sinC となることを利用する. 081-0-A081- (2) 2番目に大きい角は, 2番目に長い辺の対角である. (辺と角の大小関係) 解答 (1) 正弦定理 a b C sin A sinB sin C a:b:c=sinA:sin B:sin C 条件より, sin A:sinB:sinC=13:8:7 したがって, a:b:c=13:8:7 081-8 =8m² となり, a=13k,b=8k,c=7k(k>0) とおけるa:b:c が定ま よって、余弦定理より, b²+c²-a² _ (8k)²+(7k)²—(13k)² cos A= 2bc 2.8k-7k 1 =- 2 11 cos B-a-b² (7k)²+(13k)² - (8k) 2 11 2ca = 2.7k-13k -= けで大きさは定ま ない。この比率を とおく. 7k- A 13 -8k B 13k _a2+b-c_(13k)2+(8k)2-(7k)2_231 cos C=- 2ab -= 2.13k 8k 26 (2)(1)より,a>b>c であるから, 2番目に大きい角は Bである. 22 CO8 B-11-20, co5.30=1313/3 cos B= = 13 26' 222=484, 2 26 01-5 で、( 02=.00=80 (13√/3)2=507a だから, cosB <cos 30° よって, B>30° ここが 辺と角の大小関係 (p.425 参照) -1 分かりません 30% cos B COS30 例 考え 解

どこから-13が出てきたのかわかりません😭教えてほしいです🙏

(1) 63x+29y=1 x=6, y=-13 は ① の整数解の1つである。 よって ①-② から すなわち ① 63.6+29(-13)=1 63(x-6)+29(y+13) = 0 63(x-6)=-29(y+13) ③ 63 29 は互いに素であるから, x-6は29の倍数である。 よって, k を整数として, x-6=29k と表される。 これと③から y+13=-63k したがって, 求める整数解は x=29k+6,y=-63k-13 (k は整数) 参考 63と29に互除法の計算を行うと, 次のようになる。 63=29.2+5 移項すると 563-29.2 29=5.5 +4 移項すると 429-55 5=4・1+1 移項すると1=5-4・1 よって 1=5-4・1=5-(29-5・5)・1=5・6+29・(−1) =(63-29.2)・6+29・(-1)=636+29 (13)

絶対値外したらなんでiが消えるのか教えて欲しいです。

148 基本 例題 80 2点間の距離 00000 3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ (1) 2点A,B から等距離にある虚軸上の点P (2)3点A,B,Cから等距離にある点 Q CHART & SOLUTION 複素数平面上の2点A(α), B(β) 間の距離 AB=|β-α| |β-a|=|p+gil=√2+q2 β-a=p+gi (p, gは実数) のとき (1) 虚軸上の点をP(ki) (k は実数) とおき AP=BP (2) Q(a+bi) (a, b は実数) とおき AQ=BQ=CQ 解答 (1) P(ki) (k は実数) とすると AP2=|ki-(5+4i)=(-5)+(k-4)i =(-5)²+(k−4)²=k²-8k+41 BP2=|ki-(3-2i)|=|(-3)+(k+2)i =(-3)2+(k+2)=k'+4k+13 p.141 基本事項 「kは実数」の断りは AP≧0, BP≧0 のとき 基本 例題 81 ||=1 かつ | (1) zz CHART & S 複素数の絶対値 (1)zz= |2|2 (3)(1),(2)の結 別解 解答 z=a+ (1)zz=z2 (2)|z+il=√ よって すなわち 展開すると zz=1を代 ya • A P 0 X AP = BP より AP2=BP2 であるから k2-8k+41=k2+4k+13 なんでできえるの? ・B これを解いて k= 7 したがって、点Pを表す複素数は i 3 実 (2) Q(a+bi)(a, b は実数) とすると AQ2=l(a+bi)-(5+4i)|= l(a-5)+(6-4)i 「a, b は実数」の断りは 重要。 (2) 両辺に =(a-5)2+(6-4) 2 YA 73 AP=BPAP'=B よって (3) z=0 で BQ²=l(a+bi)-(3-2)=(a-3)+(6+2)i =(a-3)2+(b+2 ) 2 CQ=l(a+bi)-(1+2i)|= l(a-1)+(b-2)i =(a−1)²+(6-2)² AQ=BQ より AQ'=BQ2 であるから 整理すると (a-5)2+(6-4)2=(a-3)2+(6+2) a+36=7 BQ=CQ より BQ=CQ2 であるから (a-3)2+(b+2)2=(a-1)2+(6-2)2 整理すると a-26=2 ...... ② ①,②を解くと a=4,b=1 したがって,点Q を表す複素数は 4+i PRACTICE 802 Q 0 B ABC は∠Cが直 inf. の直角二等辺三角形で あるので、求める点は ABの中点である。 3点A(-2-2i), B(5-3ź), C(2+6ź) について,次の点を表す複素数を求めよ。 (1) 2点A, B から等距離にある虚軸上の点P (2)3点A,B,Cから等距離にある点 Q よって ゆえに したがっ 別解 2=C z=a-b (2)より, また b= したがっ PRACTI ||=5カ (1) zz

写真の下の方の波線部について、どのようにしてAQベクトル-ADベクトルが右辺のようになるのかが分かりません。解説をお願いします💦見辛くて申し訳ないです

平行四辺形ABCD の辺BC を α: (1-α) (ただし, 0<a<1) に内分する点をP とすると,AP=AB+ ア AD である。 また, 対角線 AC を 2:1に内分する イ 1点をQとする。 3点 D, Q, P が一直線上にあるとき, a=- ただし, ア (a-1) POINT! ウ である。 については,当てはまるものを次の①~④のうちから一つ選べ。 ② (a+1) ①a 3点 A,B,C が 一直線上にある ③ (1-α) ⇔AB=kAC となる実数が存在する。 ④(-a) 平面上でa≠06=0,ax (a,方が1次独立) のとき ka+b=k'a+l'b>k=k', l=1' A C B AP=AB+BP=AB+αBC =AB+αAD (1) D C 素早く解く! 1-a CHART 2 つのベクトル また,AC=AB+BC=AB+AD (AB, AD)で表す であるから AQ=AC=1/3AB+2AD B a 3点D, Q,Pが一直線上にあるから,DP=kDQとなる実数 POINT! んが存在する。 ここで DP=AP-AD=AB+αAD-AD =AB+(a-1)AD DQ=AQ-AD=-AB+/AD-AD DP=kDQから 2 = 3 -AB-1AD AB+(a-1)AD=(1/3AB-1/2AD) CHART 始点を(A) そろえる 素早く解く! 図形的に考察すると,3点 D, Q, P が一直線上にあ るとき AQADAQCP となり,相似比が2:1 か a= KAB-KAD AB=0, AD = 0, ABXAD であるから 2 1=k, a-1=- 係数が等しい。 k 13 k= よって 02/21/12 3 AP 11 a= 2'

ここの2番の書いてある意味がわからないので，一つ一つ教えて欲しいです｡

重要 xy 例題 21 内積を利用したux+vy の最大・最小問題 00000 平面上に点A(2,3)をとり、更に単位円x2+y2=1上に点P(x, y) をと る。また、原点を0とする。 2つのベクトル OA, OP のなす角を0とすると き内積 OA・OPを0のみで表せ。 (2) 実数x, y が条件 x +y2=1 を満たすとき, 2x+3yの最大値、最小値を求め 指針 [愛知教育大 〕 (1)Pは原点Oを中心とする半径1の円 (単位円) 上の点であるから |OP|=1 (2) (1)は(2)のヒント A(2,3),P(x, y) に注目すると 2 x +3y = OA・OP かくれた条件-1≦cos 0≦1 を利用して, OA・OPの最大・最小を考える。 基本11 1 章 3 ベクトルの内積 解答 OA・OP=|OA||OP|cose =√13cose (2)x2+y=1 を満たす x,y に | (1) |OA| =√22+32 = √13, |OP|=1から YA A(2,3) 内積の定義に従って計算。 対し, OP = (x,y) DA = (2,3) として2つのベ クトル OA, OP のなす角を とすると, (1) から -10 1 x 2x+3y=OA・OP=√13cos 200 20°180°より, -1≦cos≦1であるから, 2x+3y の 0=0°のとき最大, 最大値は 13 最小値は13 0=180°のとき最小。 |-|OA||OP|SOA・OP k 別解 1. 2x+3y=kとおくと 2 y= -x 3 3 Fonie |OA||OP| これをx2+y2=1 に代入し, 整理すると 13x24kx+k2-9=0 ...... ① から求めてもよい (p.612 重要例題 19 (1) 参照)。 20 xは実数であるから, xの2次方程式 ① の判別式をD xは実数であるから,x とすると D≧0 D =(-2k-13(k-9)=-9(k-13) であるから k2≦13 よって√13≦k≦√13 別解2. (x,y)= (cos 0, sin01) と表されるから 2次方程式が実数解を もつ 実数解⇔ D≧ (数学Ⅰ)である 三角関数の合成 ( 数学II) 2x+3y=2cos01+3sinA=√22+32sin(01+α)=√13sin(01+α) 3 2 ただし COS α= √13 sina= √13 1main (+α) ≦1であるから -√13≦2x+3y≦√130°≦0,<360° 2 =2を満たすとき, ax + by

矢印のところなのですが、1が動いてるのはわかるんですが、どのようにして動いてるのかいまいちわかりません。過程を教えてほしいです。

奇数で 2{12 (n-1)n+1}-1=m-n+1 これはn=1のときも成り立つ。 (2)(1)より、第n 群は初項n-n+1, 公差 2 項数nの等 差数列をなす。 よって, その総和は n{2-(n²-n+1)+(n−1)•2}=n³ 1から始まる奇数の番 目の奇数は2k-1 <12-1+1=1 n(2a+ (n-1)d} (3) 301が第n群に含まれるとすると n-n+1≦301<(n+1)-(n+1)+1 n(n−1)≤300<(n+1)n...... D +12 求める。右足は n+1)- よって (n+1) 群の最初の数。 (n-1) は単調に増加し, 17・16=272, 18・17=306であn(n-1)が 「単調に増 るから、①を満たす自然数nは n=17 301が第17群のm番目であるとすると (172-17+1)+(m-1)-2-301 これを解いて m-15 する」とは,nの値が きくなるとn (n-1) 値も大きくなるとい と。 4a+(m-1)d したがって, 301 は第17群の15番目に並ぶ数である。 別館 (前半) 2k-1301から k=151 よって, 301 はもとの数列において, 151番目の奇数であ る。301 が第群に含まれるとすると 1/21n(n-1)<151/12n(n+1) ゆえに n(n-1)<302≦n(n+1) これを満たす自然数 n は、上の解答と同様にして n=17 基本例題 29 の結果を利用しての公式を導く <第1群から第k群 にある奇数の個数 1 -k(k+1) 29 において、第群までのすべての奇数の和は、解答 (2)の結果を利用す 1+2+3++ガ=2 1 MAA 一方、第群の最後の奇数を第(n+1) 群の最初の項を利用して求めると

【複素数平面】 赤丸🔴の式変形がわからないです。 特に　i^2 はどうなってるんですか？？

24 基本例題 80 2点間の距離 000 3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ。 (1)2点 A,B から等距離にある虚軸上の点P (2)3点A, B, Cから等距離にある点 Q p.417 基本事項 4 CHART | SOLUTION 複素数平面上の2点A(a),B(β) 間の距離 AB=|ß-a| B-a=p+gi (p, q は実数) のとき \B-al=lp+gil=√2+q2 (1) 虚軸上の点をP(ki) (k は実数) とおき AP=BP AQ=BQ=CQ (2) Q(a+bi) (a, b は実数) とおき 解答 (1) P(ki)(k は実数) とすると AP2=|ki-(5+4i)|= (-5)+(k-4i =(-5)2+(k-4)2=k-8k+41 BP²=|ki—(3—2i)|²=|(−3)+(k+2)i|²¯¯ =(-3)2+(k+2)²=k+4k+13 AP=BP より AP2=BP2 であるから 「は実数」の断りは重要。 YA P A 0 x B idtp: k2-8k+41=k+4k+13 これを解いて k= したがって,点Pを表す複素数は 7 (2) Q(a+bi)(a, b は実数) とすると 1/32 AQ²=(a+bi)-(5+4i)|²=|(a−5)+(6-4)i|2 =(a-5)2+(6-4)2 10 BQ²=|(a+bi)-(3-2i)²=|(a-3)+(b+2)i|2 =(a-3)2+(6+2)2 CQ2=(a+bi)-(1+2i)=(a-1)+(6-2)i =(a-1)+(6-2)2 AQ=BQ より AQ'=BQ2 であるから (a−5)²+(b−4)²=(a−3)²+(b+2)² 整理すると a+36=7 ...... BQ=CQ より BQ2=CQ2 であるから (a-3)+(b+2)²=(a-1)+(b-2)^ ② 整理すると a-2b=2 ①,②を解くと a=4,6=1 したがって, 点Qを表す複素数 73 AP≧0, BP≧0 のとき AP=BP⇔AP2=BP2 ← a, b は実数」の断りは 重要。 YA A 0 B inf. AABC là Cbi の直角二等辺三角形で あるので求める点は辺

数Cの式と曲線の問題です ２枚目の答えの◾️の部分がどの計算で出てくるのか、 ●から●になるのはどのような計算をしたからなのかが 分かりません。教えて下さい。

弦の中点の 軌跡 89 双曲線 xy=1の傾き2の弦の中点の軌跡を求めよ。 ポイント④ 双曲線と直線 y=2x+k が交わってできる弦の中点の軌跡を める。弦の中点の座標を(x,y),弦の両端の座標を(x,y) (x2,y2)として,解と係数の関係などを利用すると, x, yが を用いて表せる。 これより,x,yの関係式を導く。 の値の範囲に注意。 FAXS (1)