Question

ちはやふる

数Cの式と曲線の問題です
２枚目の答えの◾️の部分がどの計算で出てくるのか、
●から●になるのはどのような計算をしたからなのかが
分かりません。教えて下さい。

弦の中点の
軌跡
89 双曲線 xy=1の傾き2の弦の中点の軌跡を求めよ。
ポイント④ 双曲線と直線 y=2x+k が交わってできる弦の中点の軌跡を
める。弦の中点の座標を(x,y),弦の両端の座標を(x,y)
(x2,y2)として,解と係数の関係などを利用すると, x, yが
を用いて表せる。
これより,x,yの関係式を導く。 の値の範囲に注意。
FAXS
(1)

89 x-y=1
......
①
②①に代入すると
傾き2の直線の方程式を y=2x+k ...... ② とおく。
x2-(2x+k)=1
よって
3x2+4kx+k2+1= 0
3.
この2次方程式の判別式をDとすると
D
-=(2k)2-3(k+1)=k2-3
弦ができるとき,双曲線 ① と直線 ② は異なる2点で交わるから
D>0 すなわち k-30
.
よって
k<-√3,√3 <k
弦の両端の座標を (x1,y1), x2,y2) とする。
+
X1, x2 は ③の異なる2つの実数解であるから,解と係数の関係によ
り
x+x2=
4
3
-k
x+x2
弦の中点の座標を (x, y) とすると x=
=
2
23
-k
I+w
②から
y=2(− 2² ²k) + k = — — 13k
-k
10
0=1+-
これらからんを消去すると y= x
2
2√√3
23
'
また,<-√33であるから
x<-
<x
3
3
ゆえに、弦の中点は,直線y=12
y=1/2xx
2√3 2/√3
xのxく
う
<xの部分(S
3
3
にある。
逆に、この図形上の任意の点は, 条件を満たす。
が点(2
3=
友
したがって, 求める軌跡は, 直線 y=-xx<
=1/2xx-2.5.
2√3 23
-<x
3' 3
の部分である。 入して
0.