下線部の4acが4･3･4になるのが理解できません( т т )

重要 例題 41 2次方程式の解の条件と確率 ①①①①① 000 3,4,5,6,7,8 から3つの異なる数を取り出し、 取り出した順にα, b, c とす る。このとき, a, b, c を係数とする2次方程式ax2+bx+c=0 が実数解をもつ 確率を求めよ。 基本36 指針 この問題では,数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。 2次方程式 ax+bx+c=0)の実数解の個数と判別式D=b4acの符号の関係 D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ D≧0 のとき, ...... ★ D=0 のとき, ただ1つの実数解 (重解)をもつ実数解をもつ D<0 のとき, 実数解をもたない ゆえに, D=b2-4c≧0 を満たす組 (a, b, c) が何通りあるか,ということがカギと なる。この場合の数を 「a, b, cは3以上8以下の整数」, 「a=bかつbcかつc≠α」 という条件を活かして, もれなく、重複なく 数え上げる。 解答 できる2次方程式の総数は P3=6・5・4=120 (通り) 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,実数 解をもつための条件は D≧0 ① 1組 (a, b, c) の総数。 本 D=62-4ac であるから b2-4ac≧0 a,38, 3≦cs8であり, a≠cであるから b'≧4ac≧4・3・4 6=7,8 } (*) 28 指針 ★の方針。 本 acのとりうる最小の値 に注目する。 <72=49>48 であるから 6=7,8 ①より ゆえに 62≧48 よって 6=7 のとき, ①から 49 724ac すなわち ac≦ =12.25 -206 4.28 この不等式を満たすα, cの組は (a, c)=(3, 4), (4, 3) (n) (E) b=8のとき, ①から 824ac すなわち ac≦16 この不等式を満たす α, c の組は (a, c)=(3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) 2+4 1 したがって、求める確率は = 120 20 3以上8以下の異なる2 数の積は, 小さい順に 3・4=12, 3･5=15, 3・6=18>16 以後も16より大きい。 よって, a,cの組を絞る ことができる。 >

マーカーを引いた部分の式は何故必要なのですか？？

基礎問 10 第1章 式と曲線 3 双曲線 (I) 次の問いに答えよ. (1) 双曲線 4.2--16.z+2y-1=0 の焦点の座標と漸近線の方程式 を求めよ. (2)2つの定点A(1, 2), B(1, 4) からの距離の差が1となる点P(x, y) の軌跡の方程式を求めよ. (3) 点 (1,0) を通り, 双曲線 x2 (付) 4 -y2=1 に接する直線の方程式を求めよ. 精講 双曲線については,次の知識が必要です. <定義> -=0 2つの定点 A, B からの距離の差が 一定の点Pの軌跡, すなわち, -√a²+62 |AP-BP|=一定 A -ao (一定値は頂点間の距離) 〈標準形〉 (主軸 軸) x² •頂点は (±a, 0) -=1 (a>0,6>0) で表される図形は, 双曲線で ・中心は原点 • 焦点は (±√2+62, 0) (<定義> ではA,Bが焦点) 漸近線は a 双曲線上の点 (x1, yi) における接線の方程式は X1X Yiy -=1 a² 62 解答 al 8 188 P va2+62 DC YB 26 + (1) 4.x²-y-16x+2y-1=0 は4(x-2)-(y-1)=42 (x-2)(y-1)2 22 42 x2 y2 - -=1 ここで,双曲線 1 の焦点は(±2√5,0) 22 42 漸近線は, =0,すなわち, y=±2x 2 =0

［1］の①の波線部はなぜ＞=になるのでしょうか？指針では実数解2つ、1つに場合分けして考えていて、[1]はそのうちの実数解2つの場合分けの部分に当たると思うのですが、＞=だと実数解は1つとなってしまう場合がありませんか？

重要 例題 127 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 方程式x2+ (2-a)x+4-2a=0が-1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解 をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 指針 [A] -1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解を含む) [B] -1<x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ 基本 125 126 ような場合が考えられる。 [B] の場合は、解答の[2]~[4] のように分けて考える。 例題 125,126 同様,D,軸, f(k) が注目点である。 19 *40 解答 判別式をDとし,f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とする。 ( [1] f(-1)=-a+3,f(1)=-3a+7 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条件は D=(2-a)-4・1・(42) 0....... ① 2-a 2 =0 D>O + ② 1 x [2] 4 2-a |軸x=- について lf(-1)=-α+3> 0 ...... ①から ゆえに α6,2≦a ... a2+4a-12≧0 ... ③間(1)=-3a+7> 0 よって (a-2)(a+6)≥0⚫FUCHS ⑤ ②~④を解くと,解は順に -1 +1 1x 7 0<a<4 ・⑥,a<3 ...... ⑦, a<- 3 (8 7 ⑤~⑧の共通範囲は 2≦a< 1) [3] a=3 3 または [4] a= って -a+3=0 ゆえに このとき、方程式はx2-x-2=0 よって [4] 解の1つがx=1のときは f(1)=0 (2 7 -3a+7=0 ゆえに a= 3 このとき、方程式は 3x2-x2=0 (x+1)(x-2)=0 よって、他の解はx=2となり, 条件を満たさない。 [2]解の1つが1<x<1, 他の解がx<-1 または 1 <xにあ るための条件はf(-1)(1) 0 って (a-3)(3a-7)<0 [3] 解の1つがx=-1のときは .-a+3)(-3a+7) < 0 72 7-3 23 ゆえに <a<3 3 たない。 f(-1)=0 (1). 6 [⑤ [ .. .. (x-1)(x+2)=0 2 [1], [2] で求めたαの値の範 この値を -6 0 2734 3 28 a [4] r[1] [2] 7-3 3 a

［2］の軸はいるんでしょうか？ ［3］と［4］が成り立つことを示せば自動的に軸は−1<x<3にあることになるから［2］を書く必要がないと思うんですが、教えてください

211 基本 例題 128 2次方程式の解と数の大小 (1) 00000 2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が,-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数αの値の範囲を求めよ。 [類 東北大〕 基本 126 127 重要 130. 指針 2次方程式(x) =0の解と数の大小については,y=f(x) のグラフとx軸の共有点の 位置関係を考えることで, 基本例題 126 127 で学習した方法が使える。 すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3a として ☆★ 2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ ⇔放物線y=f(x) がx軸の1≦x≦3の部分と、異なる2点で交わる したがってD>0, -1< (軸の位置) <3, f(-10(3)≧0 で解決。 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D,軸, f(k)に着目 CHART 解答 この方程式の判別式をDとし, f(x)=x2-2(a+1)x+3a とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は 直線x=α+1である。 TRAH 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 指針」 解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の ★ の方針。 2次方程式についての問 -1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。 題を 2次関数のグラフ 3章 13 1 2次不等式 Ba [3] (-1)≥0 すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。におき換えて考える。 [1]D>0 [2] 軸が-1<x<3の範囲にある [4] f(3) 20 この問題では,Dの符号, 軸の位置だけでなく,区 間の両端の値 f(-1), 合 すなわち -2<a<2 DS= [1] 101={-(a+1)}-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+14 3/21 よって, D>0は常に成り立つ。 [2] 軸x=α+1 について (*) -1<a+1<3 ...... ① f (3) の符号についての 条件も必要となる。 1<(軸)<3 YA [3] f(-1)から の (−1)-2(a+1)(-1)+3a0 5a+30 すなわち a≧- ゆえに [4] f(3) ≧0 から 3 + ② Oa+1 5 3 x 32-2 (a+1) ・3+3a≧0 ゆえに3a+3≧0 すなわち a≦1 ・・・・・・ ③ D)(b ② ①,②③の共通範囲を求めて 3 ≦a≦1 5 -2 3 1 5 2 a 注意 [1]の(*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。 となる

数1A ⑴の問題 何故(x-1)で割ると答えが異なるのかが分からないです。

基本 95 2次方程式の解法(基本) 次の2次方程式を解け。 (1) (x+1)x=(x+1)(2x-1) (4) 24x-6x2=10x2+9 (2) 8x²-14x+3= 0. 00000 *衣成方 (3) 5x2-7x+1= 0 163 (5)2x-x2=6(2x-1) p.161 基本事項 重要 98 99 2次方程式の解法 - 指針 因数分解 または 解の公式を利用。 因数分解できるものは AB = 0 ならば A = 0 または B = 0 から。 因数分解できないものは、 解の公式を利用。 2次方程式 ax2+bx+c=0の解は、62-4ac≧0 のとき 先の内 -b±√b2-4ac x= 2a 特に6=26′ ならば -b'±√b-ac x= 6=0 a 3章 (4)(5)は,まずx2の係数が正になるように, 整理してから解く。 (1) (x+1)x=(x+1)(2x-1) から (x+1)(2x-1)(x+1)x=0 (x+1){(2x-1)-x}=0 解答 ゆえに 8 すなわち (x+1)(x-1)=0 したがって x=±1 (両辺を共通因数の x + 1 で割るのは誤り。 x=2x-1の解だけに 2-S なってしまう。 Sve (2x-3)(4x-1)=0 または 4x-1=0 E 3 1 (2) 左辺を因数分解して よって 2x-30 -3→ -12 2X3 48 -1--2 3 -14 1 2次方程式

1番の条件で、Ｄ≧0の理由が分からないです。 どなたか教えていただきたいです🙏

基本 例題 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 p.87 基本事項 2 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0 の2つの解をα,βとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1> 0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 →α-3 と β-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 f(x)= r²-2bx+2+2

明日テストです誰か助けてください！ 「すなわち」の次からがなぜそうなるのかわかりません。実数解の場合、重解の場合、虚数解の場合、３つともわかりません。 わかる方いましたら助けてください😭

例題 3 mは定数とする。 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 x2+mx+4=0 答 解 この2次方程式の判別式をDとすると D=m²-4・1・4=m²-16=(m+4) (m-4) よって 2次方程式の解は次のようになる。 D0 すなわち m<-4,4<m のとき 異なる2つの実数解 D = 0 すなわちm=±4のとき 重解 D< 0 すなわち-4<m<4 のとき 異なる2つの虚数解

（3）（4）解説お願いします。

2次方程式 x2-3x+5=0の2つの解をα βとするとき, 次の式の値を求めよ。 (1)x2+B2 (2) α3+β3 (3) (1+α)(1+β) (4)(a-β)2

aは求められるのですが、その後の、この時与えられた二次方程式はのところがわかりません。教えてください

[対数 222 発展問題 重要 例題 138 解が三角関数で表される2次方程式 00000 αを正の定数とし, 00≦0≦πを満たす角とする。 2次方程式 2x2-2(2a-1)x-a=0 の2つの解が sind, cos0 であるとき, a, sin0, cosf の値をそれぞれ求めよ。 基本137 解と係数の関係 2次方程式 ax2+bx+c=0の2 事項を確 短期間で 力を高めた 指針 2次方程式の解が2つ与えられているから, 解を代入の方針でなく 解と係数の 関係を利用するとよい。 解と係数の関係から 182 183 18 a sin0+cos0=2a-1, sincos0=- 2 つの解をα, β とすると b a+B=- aẞ=-= しかし、 未知数は3つ (a, sind, cos0) であるから,式が1つ足りない。 そこで, かくれた条件 sin 0+cos20=1 も使って, αについての2次方程式を導き、 それを解く。 なお, sin0 または cos の範囲に要注意! sinocos0=- [基本] 18 基本 18 解答 与えられた2次方程式に対し, 解と係数の関係から sin0+cos0=2a-1 重要 185 a 2 基本 186 基本 187 sin20+2sinAcos+cos20=(2a-12 基本 188 基本 189 一本 190 本 191 192 ■ 193 ①の両辺を2乗して sin20+cos20=1であるから 1+2sincos0=(2a-1)2 これに②を代入して1+2・(-1)=40°-4a +1 よって 4a2-3a=0 すなわち a (4a-3)=0 3 α> 0 であるから a= このとき, 与えられた2次方程式は 194 対 <指針」 ..... ★の方針。 2次方程式の解が与えら れたときは,解と係数の 関係も意識しよう。 なお, sin+cos0 800-2(2a-1) 2 2x2-x- 3 -= 0 すなわち 8x²-4x-3=0 4 8x2-2・2x-3=0 であるから これを解いて 1±√7 x= 4 2±√(-2)+8.3 x= 8 また 1-√√7 4 1+√7 << 4 2±2√7 8 00のとき, sin 0≧0 であるから 1±√7 1+√7 sin0= 4 , cos 0= 0-1-√7 4 練習 k は定数とする。 2次方程式 25x2-35x+4k=0 の2つの解が sino cose ③ 138 (cos0 >sin0, 0<0<z) で表されるときの値とsine, cose の値を求めよ。 [星薬大]

3.4がわかりません

第3章 基礎 基礎問 74 44 2次不等式 とは、 問題 この (1) とめ 次の2次不等式を解け. 2-4.x+3< 0 (3) 4.22-4.x+1≦0 (2) x2-2.x-20 (4) 2.x²-6.xx-10 x²-x≤0 (6) (5) -2.x²+x+1> 0 12x2-5x+2>0 y=4.x²-Ax+1のグラフは前ページの図のようになるので 4.]-4r+10 の解は,r= 2 (4) 2x²-6x>x²-10 tr²-6x+10>0 ..(x-3)^+1> 0 y=(x-3)2 +1 のグラフは右図のようになるの で、2r2-6xx-10 の解は, すべての実数. (5) -2x'+x+1>0 は 2-x-1<0 75 1 O 3 xの係数は+にす 精講 正 Dの符号 程式の解を利用しますが, それは解の個数と関係があります。(次 表参照,ただし,a>0,α <β) 2次不等式を解くときは,不等号を等号におきかえてできる2次方 (2x+1)(x-1) < 0 -12<x<1 注 (1), (2) も, 慣れてきたら, (5)のようにすれば よいのですが, D = 0 や D<0 のときは, グラ フをかいた方がよいでしょう. る. その際, 不等号 の向きが変わること 注意 0 負 (6) ar2+bx+c=0 の解 a. B p な し y=ax2+bx+cのグラフ aBx ax²+bx+c>0の解 x<a, B<x p x+p x X すべての実数 めて,0≦x</12/2 ax2+bx+c<0 の解 a<x<B 解なし 解なし ax2+bx+c≧0の解 ax2+bx+c≦0 の解 ma, B≦x すべての実数 a≤x≤B x=p すべての実数 解なし ポイント V. V x²-x≤0 2r-5r+2>0 ①はx(x-1)≦0 ......① …2) . 0≦x≦1......①' . x< 2<x ----- ②は (2x-1)(x-2)>0 ①', ②' をともにみたすを求 0 1 2 注 この表を覚えるのではなく,考える手順を頭に入れます. (ポイント) 解答 (1) 2-4.x+3=0の解は (x-1)(x-3)=0 より x=1,3 よって,-4x+3<0 を解くと, 1<x<3 (2)222=0の解は,解の公式より x=1±√3. よって, x²-2x-2≧0 を解く x≦1-√31+√3≦x (3) 42-4.+1=0 の解は (2x-1)^2=0 より 2次不等式の考え方は,① 不等号を等号におきかえて できる2次方程式の解を考える, ② 「y=」 とおいてで きる関数のグラフを利用する (ア) 異なる2つの解をもつときは >0」 となっていたら外側を 「<0」 となってい たら内側をとる (イ)以外のとき, グラフをかいて考える 演習問題 44 次の2次不等式を解け. (1) 2x2-3x-2≦0 (2)x2-4.x-2>0 (3) -4.r+4>0