数学演習I 入試問題演習 2021/11/10
1. [2021 関西学院大]
2つの整数 a, bが13a-166=1を満たしているとする。このとき, aを16 で割ると
りは
であり,bを 13で割ると余りは
である。aとbの最小公倍数え
ウ
1110 であるとき,aの値はa=
であり,bの値はb=
である。
(解説)
13a-166=1
の
a=5, b=4 は① を満たすから
13-5-16-4=1
D-2 から
13(a-5)-16(b-4)=0
13(a-5)=16(b-4)
13 と 16 は互いに素であるから, a-5は16の倍数である。
よって,整数 kを用いてa-5=16k と表される。
すなわち
ゆえに
a=16k+5
よって,aを 16 で割ると余りは
ア5
このとき,b-4=13k となるから
b=13k+4
よって,bを13で割ると余りは
a, bは①を満たすから, aとbの最大公約数は1である。
よって, aとbの最小公倍数が1110 であるとき
イ4
ab=1110
a=16k+5, b=13k+4を代入すると
(16k+5(13k+4)=1110
208k?+ 129k-1090=D0
すなわち
(k-2(208k + 545)=0
kは整数であるから k=D2
よって
a="37, b="30