Question

あ

解説に書いてある①を満たすからa.bが互いに素になる理由がわかりません。どなたか教えてください

数学演習I 入試問題演習 2021/11/10
1. [2021 関西学院大]
2つの整数 a, bが13a-166=1を満たしているとする。このとき, aを16 で割ると
りは
であり,bを 13で割ると余りは
である。aとbの最小公倍数え
ウ
1110 であるとき,aの値はa=
であり,bの値はb=
である。
(解説)
13a-166=1
の
a=5, b=4 は① を満たすから
13-5-16-4=1
D-2 から
13(a-5)-16(b-4)=0
13(a-5)=16(b-4)
13 と 16 は互いに素であるから, a-5は16の倍数である。
よって,整数 kを用いてa-5=16k と表される。
すなわち
ゆえに
a=16k+5
よって,aを 16 で割ると余りは
ア5
このとき,b-4=13k となるから
b=13k+4
よって,bを13で割ると余りは
a, bは①を満たすから, aとbの最大公約数は1である。
よって, aとbの最小公倍数が1110 であるとき
イ4
ab=1110
a=16k+5, b=13k+4を代入すると
(16k+5(13k+4)=1110
208k?+ 129k-1090=D0
すなわち
(k-2(208k + 545)=0
kは整数であるから k=D2
よって
a="37, b="30

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

aとbの最大公約数をdとすると、整数a’,b’を用いて、
a=da’,b=db’
が成り立つ。
a,bは①を満たすので、
13da’-16db’=1
d(13a’-16b’)=1

ここで、d>1のとき、13a’-16b’=1/d
となり、右辺は非整数。しかし、左辺は整数なので、矛盾。よってd=1。つまりaとbは互いに素。

一般に、
ax+by=1が整数解(x,y)をもつための必要十分条件は、aとbが互いに素であることが知られています。
必要条件であることの証明は先程と同様に出来ると思います。十分条件についての証明は質問とは直接関係がないので省きます。

なむる

先程の非整数云々の議論は、両辺をdで割らずに、「左辺はdの倍数だから右辺の1もdの倍数である。よってd=1」という議論でもOKですね。