-
89
共通接線
2つの曲線 C: y=x', D:y=x2 + px+g がある.
(1) C上の点P (a, α) における接線を求めよ.
(2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線はと一致する. こ
のとき,pg をαで表せ.
(3) (2) のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ.
精講
(2) 2つの曲線 C, Dが共通の接線をもっているということです
が,共通接線には次の2つの形があります.
(I型)
(Ⅱ型)
y=f(x)
y=g(x)
y=f(x)
y=g(x)
アイは一致するので, 3a²=2a+p, -2a=q-a
よって, p=3x²-2α,g=-2a3+α²
(3) Dy=x+ +2 +q-2 だから, 曲線
Dがx軸に接するとき, 頂点の座標は 0
∴. 4g-p=0
<x²+px+g=0 の
9-2²=0
4
よって, 4(-2α²+α²) (3a²-2α)²=0
4a(−2a+1)-α(3a-2)²=0
a^{-8a+4-(9α²-12a+4)}=0
a³(9a-4)=0
判別式=0 でもよい
展開しないで共通因
数でくくる
4
.. a=0,
注 α=0 が答の1つになること
は,図をかけばx軸が共通接線
であることから予想がつきます.
D (二次関数)がx軸に接するというのは
頂点のy座標が0になる or Dの判別式が0となる。
0
x
(2)はポイントを使うと次のようになります.
違いは, 接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP
で一致しているので(I型) になります.
どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え
れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が
よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります.
解答
(1) y=xより, y'=3x2 だから, P(α, α3) における接線は,
y-a=3a(x-α)
:.l:y=3ax-2a ...... ア
(2)PはD上にあるので, a'+pa+q=a° ...... ①
また,y=x'+px+g より y'=2x+p だから,
Pにおける接線は, y-a= (2a+p)(x-a)
:.l:y=(2a+p)x+a-2a-pa
85
f(x)=x, g(x)=x2+px+q とおくと
f'(x)=3x', g'(x)=2x+p
[a=a+pa+g
.
3a²=2a+p
[p=3a2-2a
よって,
g= -2a3+α²
ポイント
2つの曲線 y=f(x) と y=g(x)
共有し, その点における接線が一致する
-f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t)
点 (t, f(t)) を
y=(2a+p)x+q-a° ...... ① (∵: ①より)
演習問題 89
関数f(x)=x2+2 と g(x)=-x+ar のグラフが点Pを共有
し, 点Pにおける接線が一致する. このとき,αの値とPの座標を
求め上