1.
けて考え
変形
義域の甘
定義域の
る。
から
域内に
最小と
三域の左
義域の
。
こまと
基本例題 66 最大・最小の文章題 (1) 小屋・
BC=18, CA=6である直角三角形ABC の斜辺AB上に点Dをとり,Dか
ら辺BC, CA にそれぞれ垂線DE, DF を下ろす。 △ADF と△DBE の面積
の合計が最小となるときの線分 DE の長さと, そのときの面積を求めよ。O
基本60
CHART & SOLUTION
文章題の解法
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE = x とすると、 相似な図形の性質から ADF, △DBEはxの式で表される。
また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
解答
DE=x とし, △ADF と△DBE の
面積の合計をSとする。
0<DE=FC <AC であるから
・①
0-1 0<x<6
......
(6—x)²
62
と AF=6-x
△ABC △ADF であり, △ABC:△ADF=62:(6-x) 2
△ABC=1/12･18･654 であるから
B
ADBE=54= 3x²
2
したがって,面積は
JOE ASI
次関数は81+(c
•54=2(6x)²31 5 8=
△ADF=
同様に,△ABC∽△DBE であり、△ABC:△DBE=62:x2
祉
2
よって
S=△ADF + △DBE
{(6-x)²+x²}
E
(8
AS
54
27
(辺の長さ)>0
xのとりうる値の範囲。
3 6 x
相似比がm:n→
面積比は²: n²
←三角形の面積は
1
2
(底辺)×(高さ)
別解 長方形 DECF の面積
をTとするとTが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x) から
T=x・3(6-x)
117
=3(x2-6x+18)
0
=3(x-3)2+27
① において, S は x=3で最小値 27 をとる。
をとる。
よって,線分 DE の長さが3のとき面積は最小値 27 をとる。A
=-3(x-3)2 +27
0<x<6から, x=3でT
は最大値 27 をとる。
よって,線分 DE の長さが
3のとき、 Sは 最小値
･・6・18-27=27
3
