Question

ゆう

両辺で微分と書いているところの一つ下の式がどういうものかがよくわからないです。
教えてください。

関数 f(x) = (ax+b)ei がすべての実数xに対して
1
f(x) = e¹³-1+ √ ƒdt
20
Sof(t)dt
をみたすとき、 a, b を求めよ。

6-3
fa) = e² - ( + 2) " " fr+idt "..@
①の両辺にx=0を代入
from = e² - 1 + ≤ 5° fund t
be=1-1+0
b=0
このとき
x
axe² = c²-11=1, ate d±
e
両辺でビ分
actraixte tentone
2
a=1/2
49
foxy=ax+b)e
+
モの式
どうからきた?
x
axex+be²
Saf(x) dtを含むとき.
a
①x=autλ ("=0
②
積分
dalla f(@jdt = f(@)
↓水とを代入して、大消える。
積分してビ命→元に戻る

Answer 1

ふぃる

左辺は積の微分法を使います。
右辺の第1項は合成関数の微分を使い、第2項は定数なので0、第3項は微分積分学の基本定理を使います
恐らく、第3項がわかっていないと思うのでそこだけ説明します。

そのノートにも書いている通り、
d/dx∫[a→x]f(t)dt=f(x)が成り立ち、これを微分積分学の基本定理といいます。
∫[0→x]ate^(x/2)dtをxで微分すると、
f(t)= ate^(x/2)として、上を使うと
d/dx∫[0→x]ate^(x/2)dt=f(x)=axe^(x/2)
と求まります。ちなみに、aやe^(x/2)はtによらないので積分の外に出せます。つまり、
d/dx∫[0→x]ate^(x/2)dt
=ae^(x/2) d/dx∫[0→x]tdt
= ae^(x/2) x
とできます。

Answer 2

Q&A専

左辺:積の微分でae^(x/2)+ax/2×e^(x/2)
右辺一項目:1/2e^(x/2)
右辺二項目:定数の微分で0
右辺三項目:積分して微分するので変わらず、結局中身のate^(t/2)のtがxになったものが出でくる。