10
(2) 5x+7y = 2012 ・・・ ① とおく。
①にy=1 を代入すると, 5x = 2005 より
x=401
よって, x=401, y = 1 は ① の整数解の1つである。
ゆえに 5.401 +7.1 = 2012
① ② より 5(x-401)+7(y-1)=0
すなわち
5(x-401)=-7(y-1)
3
とは互いに素であるから, x-401は7の倍数となる。
よって, x-401 = 7n (nは整数)とおくと
x=7n+401
5.7n=-7(y-1)
x-401 = 7nを③に代入すると
よって
y = -5n+1
したがって, 方程式 ① を満たす整数の組(x,y) は
[x = 7n+401
(nは整数)
lv=-5n+1
次に,x,yがともに自然数のとき, x>0,y>0 より
7n+401> 0, -5 +1>0 となり
401
+// <n< = {}
7
5
...
2
nは整数であるから n = -57, -56 ・・・,0
よって, 方程式 ① を満たす自然数の組(x,y) は 58組
■特殊解x = 4, y=3を
=5n+4
考えて
ly=4n+3
としてもよい。
y-1は5の倍数より
y-1=5n とおいて考
てもよい。