Question

ゆらたそ

ユークリッドの互助法の式まではわかりますが、
代入して行くところからがよくわかりません
わかる方テスト間際なので教えてください😢
よろしくお願いします！！

例題 311 不定方程式 〔8〕... 2元1次 (互除法の利用)
方程式 67x+107y=3 を満たす整数の組(x, y) をすべて求めよ。
思考のプロセス
Wo Action 1次不定方程式は、 まず 1組の解を見つけよ
しかし、 係数 67, 107 が大きく, 1組の解を見つけにくい。
Action» 1 次不定方程式の1組の解は,互除法を利用して求めよ
段階的に考える
x,yの係数
67107 で互除法
107 = 67×1 + 40
67 = 40×1+27
40= 27×1+ 13
27 = 13×2+1
301
解 方程式 67x+107y = 3
例題 107 = 67×1 +40 より
67 = 40 × 1 +27 より
40 = 27 × 1 + 13 より
27 = 13×2+1 より
⑤ に ④ を代入すると
これに ③ を代入して
この両辺に3を掛けて
「余り」を残して
( 余り
107-67×1=40
67-40×1= 27
40-27×1=13
27-13×2=1
① - ⑥ より
移項
67 + 107・
⑦ に代入すると
よって、求める整数の組は
x=107n+24
y=-67n-15
67 × 24 + 107 × (−15) = 3
A
B
... D
40-27×1=13
27-13×2=1
y=-67n-15
(最後⑩から始めて
「余り」を次々に代入)
27-13×2=1
40-27 ×1=
|= 1 が得られる。
与式の右辺は3だが,どうすればよいか?
(nは整数)
D
・① の係数 67 と 107 について
107-67×1= 40
67-40×1= 27
(5)
27- (40-27 ×1) x2 = 1
てこの27 × 3+ 40 × (−2) = 1
( 67-40×1) × 3+ 40 × (−2)=1
67 × 3 +40 × (−5)=1
さらに②を代入して 67×3+ (107-67×1) × (−5)=1
67 × 8 + 107 × (−5) =1
C
...
B
A
..6
67(x-24) +107(y + 15) = 0
67(x-24)=-107(y+15)
67 と 107 は互いに素であるから,x-24は107の倍数となる。
よって,x-24 = 107 (nは整数)とおくと
x = 107n+24
67-40×1=
107-67×1 40 代入して数
(3)
例題 309
ユークリッドの互除法を
用いる｡
④ を代入して27と
整理する｡
③ を代入して 67
整理する
Go Ahe
元1次
すなわち
(
② を代入して67
整理する
与式の右辺とそろえる。
(x, y) = (24, -15)
1組の解である。以下は
例題 309 の方法と同じ。
このこ
まず最
(定)
a
$
それ
NEE
[

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

ゆらたそ様
互除法の逆算は、慣れるまでに時間がかかります。
テスト間際で時間がないのであれば、次のようにしてはどうでしょうか。（本質的にEuclidの互除法と同じです）
　x，y，67x+107y
①1，0，67　　←スタートは「1，0，＊」。＊は x=1 , y=0 のときの 67x+107y の値
②0，1，107 　←スタートは「0，1，＊」。＊は x=0 , y=1 のときの 67x+107y の値

③1，0，67　　←①②のうち、右の数が小さい方を残します
④-１，1，40　←①×(-1)+②

⑤2，-1，27　　←④×(-1)+③
⑥-１，1，40　　←③④のうち、右の数が小さい方を残します

⑦2，-1，27　　←⑤⑥のうち、右の数が小さい方を残します
⑧-3，2，13　　←⑤×(-1)+⑥

⑨8，-5，1 　　←⑧×(-2)+⑦
⑩-3，2，13　　←⑦⑧のうち、右の数が小さい方を残します

よって、⑨×3より「24，-15，3」、すなわち、x=24 , y=-15 が解の一つ。　■
【補足】
この操作は、大学の線形代数で行う「行基本変形」です。
それではテスト、がんばってください！