参考の部分だけがわからないので詳しく説明してほしいです。

43 25 剰余の定理(IⅡ ) 整式(x) を2.r+1, 2.ェー1でわったときの余りがそれぞれ4 6のとき,f(r)を4.ー1でわったときの余りを求めよ。 2で学んだように, わり算が実行できなくても 「刺余の定理」を使 えば余りを求められます、 しかし, この定理は1次式でわったとき の余りを対象にしたものです。 この問題のように、 2次式でわった 積講 ときの余りを要求されたらどのように対処するのでしょうか。 解 答 求める余りはar+bとおけるので F(x)=(4r-1)Q(x)+ax+b と表せる。 2次式でわった余り は1次以下 イーーー だから。 +カー4,+カ-6 4剰余の定理 *a=2, b=5 よって、求める余りは, 2.r+5 のポイント n次式でわったときの余りは (n-1)次以下の整式 (x)=(2.r+1)(2.r-1)Q(z)+ R(z) として、 と2ェ+1でわりきれています。 ところが、 /(x) は2.r+1でわると 4余っているので, R(x) を2ォ+1でわると4余るはずです。 だか ら、R(r)=a(2.r+1)+4 とおけます、 こうすると、 使う文字が1つだけで 済みます。 (aは, R(x) を2ェ+1でわった商を表している) この考え方は, たいへん有効な考え方なので、 次の 2回 で使ってみます。 部分だけを見る 消習問題 25 整式(x)をー2でわると3余り、+1でわると6余る、 この とき、(r)を(r-2) (z+1) でわったときの余りを求めよ、 第2章

⑵の解答の赤線で引いたところがよくわかりません、教えてください

を求めよ。 (2)(x+1)f(x) = 2f(x) +4, f(0) 30 を満たす整式で表された関数 f(x) を求めよ。 f(x) = ant"+ an-1x"-1+ an-2x"-2+…+ Q2x°+aix+ao(an キ0)

ここのAnの意味がわかりません、、

ノ はそれを丁寧に示し, 恒寺式のール」 解答 P(x)が定数なら P(x+1)- P(x) は常に0だから与 式は成立しない. P(x) がn次式(n21)であるとすると P(z)= ant" +an-12"-1 + … (an キ0)と書けて ■ P(z+1)= an(x+1)"+an-1(エ+1)"-1 + … となる。 88 -1}+

(1)の解答のk回微分のところからが分かりません。どなたか教えていただけませんか？

(1) n次式 (x) は任意の実数αを用いて 1! fm(a)(x-a)" 46 例題 18- n! と表せることを証明せよ。 条件を求めよ。 ることを示し,点対称の中心を求めよ。 (i) 4次関数 f(x)=ax*+bx°+cx°+dx+e (aキ0) のグラフがvに 平行な対称軸!をもっための条件, および 1の方程式を求めよ。 (有名問題) 考え方(1) 二項定理を用いて展開し, 両辺をん回微分(1<kSn) する. (2), (3) は (1)の応用。 【解答) (1) (x)=ao+a;x+ax'+…+a,x" (anキ0) =ata(x-a)+a}+a{(x-a)+α}°+…+an{(x-a)+α}” (これを二項展開して, 昇べきの順に整理し直して) =6o+6(x-a)+b(x-a)+…+b(x-α)" と書き直せる。 …0 0でx=a とすると, しt 10- f(a)= bo. 0の両辺をk回(1<k<n) 微分して x=α とすると, fla(c)=Dk(k-1)…2-1·bk. 2, ③を①に代入して : b,=f®(@) k! f(x)=D (a)+0( (の)+(D-x) 2! f"(a) 1! (2) f(x) が(x-a)' で割り切れる条件け (1) 1| fm(a) n! (終

この問題の2枚目の写真で変形する時に両辺に(x-1)があるので消してると思うのですが、x=1の時の確認はしなくても大丈夫なのですか？いきなり両辺を(x-1)で割ってもいいんですか？

l docomo 7:04 しO149% 列題 57 n次式の割り算 hは自然数とする。"ー1を(xー1)"で割ったときの余りを求めよ。 を+1で割ったときの余りを求めよ。 ((2) 類愛媛) 中例題54- 基本寺式4=8Q+R 次数に注目 CHART 割り算の問題 (1、(2) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いて=1を代入することは思いつくが、それだけでは足りた そこで、恒等式 a"ーが=(a-b) (a"-+a""b+ tab"+が) を利用する。 (2) -(+1)Q(x)+ax+b に、x"+1=0 の解である x=i を代入して、 複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0 → A=B=0 を利用する。 「次ページ利参照 (1) x-1を(x-1)'で割ったときの商をQ(x),余りを ax+bとすると、次の等式が成り立つ。 "-1=(x-1)Q(x)+ax+b 割り算の基本 A=BQ+ 両辺にx=1を代入すると 0=a+b すなわち 6=ーa これをDに代入して -1=(x-1)(x)+ax-a =(x-1)((x-1)Q(x)+a} ここで、x"ー1=(x-1)(x"-1+x"-2+ +1) であるから 4(x-1)Q(x) この式の両辺にx=1を代入すると よって b=-a であるから はn個ある。 a=n b=ーn ゆえに,求める余りは 参考 次のように考えてもよい。 nxーn ここで、P(x)=x"-1+x^-3++x+1 とおくと、P(x) を x-1で割ったときの余りは 4刺余の定理。 よって、P(x)をx-1で割ったときの商をQ(x) とすると P(x)=(x-1)Q(x)+n 両辺にxー1を掛けて (x-1)P(x)=(xー1)"Q(x)+n(x-1) (x-1)P(x)=xr"-1 から 閉じる aー1-(x-1)"Q(x)+n(x-1)

解答2の6行目あたりから分かりません。 どなたか教えていただけませんか？

ことを示せ、 3 f(x+1)-f(x)=x(x+1), f(0)=0 をみたす整式 f(x) を求めよ.

問3の答えを教えてください＜(_ _)＞

1節 式の計算 例3 4x°+x°ー2x-x+5+3x° を整理すると 4x°+3x°-2x+5 例3のように, 整式を整理し,項を次数の高いものから順に並べるこ こう とを,降べきの順に整理するという。 問3 次の整式を降べきの順に整理せよ。 (1) x+5x°-2+7xー4x (2) 5x-x°+3.x°+6:x°+3-2x 整理された整式において, 各項の次数のうち最も高いものを、その整式 の次数といい, 次数がnの整式をn次式という。 また,整式の項の中で, 文字を含まない項を定数項という。 10 例4 (1) 2x+1は1次式で, 定数項は1である。 (2) -5x°+7x-3は3次式で, 定数項は 一3である。 問4 次の整式は何次式で、定数項は何か

この問題の回答の部分で、 f(f(x))=(f(x))^2は恒等式って書いてあるのですが、なぜですか？恒等式かどうかってどう見極めればいいのでしょうか？

40 )は多項式で、x))=(/(x))° がxのすべての実数値に対して取り立っ。 例題 22 等式を満たす多項式 左尊 5 改訂 シリ いう。このような/(x) をすべて求めよ。 基え 読の「チィ づき,本 の重点や の解法を フポイン に示す ゴ抜か こた解 ます。 岡(x)は次数もわからないから, n次式として (x)=aur"+a,x" 1+·+an-1ポ+am *ラ まず,次数nを決める マ らす方針す 先十98-A3 使さ 1 恒 とおく。しかし,これを代入していては大変である。そこで 等式 実 での ことから始める。 下の注意を参照 審案x)=0 は明らかに条件に適する。 x)+0 として,f(G)= ag"+·· (a+0, nは0または正 の整数)とすると 3 三展 =a n+1。n? (ax")"=a"x" ある で。 CH F(x)=(F(x))? はxについての恒等式であるから,最高次 の項を比較して 0, a*1=a? るニ 2 n°=2n 略い。 次数,係数を比較。 のから [] n=0 のとき aキ0 であるから [2] n=2 のとき aキ0 であるから このとき, f(x)=Dx°+bx+c とおけるから、 p) f(F(x))=(F(x))? により (+bx+c)+6(x°+bx+c)+c=(x?+bx+c)? 2+6+c=l n=0 または n=2 のから 例 a=a° 証明 このとき =q° Aじ() し a=1 f(x)=1 のから h*2つまり a=1 (+性) 6m* 理すると efaaxe これがxについての恒等式であるから +x br'+8x+c(b+1)=0 b=0, ゲ=0, c(b+1)=0 これを解いて b=0, c=0 以上から ■数学1で学習したように, 0以外の定数の次数は0であるが、定数0の次数は定めなり ゆえに f(x)=0, f(x)=1, f(x)=x" F(x)=x? そのため,f(x)=D0 は別にして調べたのである。 2 比 練習 ○ ○ の

□3って分かりやすくどういうことですか？🙇‍♀️🙏

この黄色で囲んであるところは、どのように計算あるいは整理しているのでしょうか？ 分かる方お願いします！

す整式げ(ヵ) はL_Q) ] 次式であり, このとき (東洋大・理工) ここでは誘導で了(ょ) の次数を問わ | > ー れているが, この誘導がヵ * し ポめられないか」を考えるところである (>)=ニ4よー1 MTの とan. kWeNav ょう. 次数が決まったあとは, 各係数を未知数として方程式を立て。具性的に保末をめていけばょい、 重 中 中 WW (1) 7(z)がヶ次式であるとして』 /()=4z2二(ター1 欧以 強 とぉく. これを微分して, (な巡)ニ(うーア(z) =2 「 う 2 を