Question

あ

この問題の2枚目の写真で変形する時に両辺に(x-1)があるので消してると思うのですが、x=1の時の確認はしなくても大丈夫なのですか？いきなり両辺を(x-1)で割ってもいいんですか？

l docomo
7:04
しO149%
列題 57
n次式の割り算
hは自然数とする。"ー1を(xー1)"で割ったときの余りを求めよ。
を+1で割ったときの余りを求めよ。
((2) 類愛媛)
中例題54-
基本寺式4=8Q+R 次数に注目
CHART 割り算の問題
(1、(2) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いて=1を代入することは思いつくが、それだけでは足りた
そこで、恒等式
a"ーが=(a-b) (a"-+a""b+ tab"+が)
を利用する。
(2) -(+1)Q(x)+ax+b に、x"+1=0 の解である x=i を代入して、
複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0 → A=B=0
を利用する。
「次ページ利参照
(1) x-1を(x-1)'で割ったときの商をQ(x),余りを
ax+bとすると、次の等式が成り立つ。
"-1=(x-1)Q(x)+ax+b
割り算の基本
A=BQ+
両辺にx=1を代入すると
0=a+b すなわち 6=ーa
これをDに代入して
-1=(x-1)(x)+ax-a
=(x-1)((x-1)Q(x)+a}
ここで、x"ー1=(x-1)(x"-1+x"-2+ +1) であるから
4(x-1)Q(x)
この式の両辺にx=1を代入すると
よって
b=-a であるから
はn個ある。
a=n
b=ーn
ゆえに,求める余りは
参考 次のように考えてもよい。
nxーn
ここで、P(x)=x"-1+x^-3++x+1 とおくと、P(x) を
x-1で割ったときの余りは
4刺余の定理。
よって、P(x)をx-1で割ったときの商をQ(x) とすると
P(x)=(x-1)Q(x)+n
両辺にxー1を掛けて
(x-1)P(x)=(xー1)"Q(x)+n(x-1)
(x-1)P(x)=xr"-1 から
閉じる
aー1-(x-1)"Q(x)+n(x-1)

これを①に代入して
x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a
=(x-1)(x-1)Q(x)+a}
ここで、x"ー1=(x-1)(x"-1+x"-2+ 1)であるから
x-1+x"-2+… +1=(x-1)Q(x)+a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

xについての恒等式
=全てのxについて成り立つ
⇒x=1以外のxについて考えて良い
ということです