二次関数の問題です。問題文にも書いていないのに何故実数解を持つと分かるんですか？

|実数x, yがx。+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 重要 例題 119 2変数関数の最大 最小 (4) 187 求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。 点に注意。 指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x+y=2から文字を減らしても、 2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x として yを消去し, x?+y°=2 に代入すると x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式になる。 xるこの方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 [類南山大) 基本 98 入するとおい 合社 実数解をもつ→ Dz0 の利用。 ラフか 3章 13 CHART 最大·最 小 =tとおいて,実数解をもつ条件利用 THAHO 解答 2x+y=tとおくと ソ=t-2x 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 二は ッともに2枚 る式は 1次,yが から,yを これをx+y°=2に代入すると x*+(t-2x)°=2 5x-4tx+t°-2=0 等式)。 整理すると このxについての2次方程式(2が実数解をもつための条件は、[等号成立は ay=bx] 2の判別式をDとすると S-(S+x (ax+by)s(α+6')(x"+y°) D20 a=2, b=1を代入すると い。 『ここで ー=(-2t)-5(-2)=D (2-10) aるあす (ト x°+y°=2 であるから ミード X (2x+y)°<10 よって0>トーx8 t-10S0 吹式一 に直す。 D20から ト>>1- これを解いて ー/10 Sts/10 ちら -V10 s2x+y</10 (等号成立はx=2yのとき) 送1-4t t=±/10 のとき D=0 で, ② は重解x= をもつ。 5 ーム このようにして, 左と同じ答 えを導くことができる。 2.5 V10 のから y=± 2/10 5 t=±V10 のとき x=± 5 (複号同順) のとき最大値(10 5 10 2/10 x= 5 したがって リミ V10 のとき最小値 - 10 2/10 ソミー 5 xミー 5 1?ry+2y?=2を満たすとき 直立求めよ。 S 2 |:2次不等式

(x-2 y)の二乗≧0からx-2y＝0になるのはなぜですか？

重要例題71 まの O0 楽 0 2変数関数の最大 最小 x, yを実数とするとき, x°-4xy+7y°-4y+3 の最小値を求め,そのとき のx, yの値を求めよ。 基本 57

？している部分教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

表示 実数,yがぎ+y=1 を満たすとき,x+ 2xy-yの最大値と恥小せ Action》 円+y?=r上の点(x, y) は, x=rcos 0, y = rsin0 とせよ す。「wh 例題163 条件つき2変数 PlE を求めよ。 条件つきの2変数関数である。 条件」 xyの項が複雑になってしまう。 の表す図形が分からない。 2変数(1変数 (cosd, st 変数を減らす 見方を変える Jx= cos0 ly= sin0 80) 1x 点(, y)が円+y°=1上にある 0200 + 0S200 0820g (1+SeooS)0820 ■実数x, yはx°+y° =1 を満たすから x= COsO, y = sin0 (0 < 0< 2π) とおける。よって *+2xy- y° = cos° 0 +2cos0sin0- sin°0 0S200 ま 0 ち |2cos0sin@ = sin26 cos°0- sin°0 = cos = sin20 + cos20 よケ 2 08 0 (2 sin( 20 + 4 π π ここで,0S0く2π より n π 17 S20+ く 4 4 4 π よって sin(20 + -1のとき -1S sin 20 + 13 -π π, 4 -2s(2 sin 20 + 5 0 三 8 8 )s2 T =1のとき したがって 4 最大値(2,最小値 -2 sin( 20+ Point 円の媒介変数表示 9 -π T 0 8'8 円*+y= (r>0)の周上の点Pは,動径 OP が *軸の正の向きとなす角0を用いてP(rcos0, rsind) と表せる。 すなわち x=rcos0 P(rcosd, rsin) リ= rsin@ これを、0を媒介変数とするこの川 いう。 0 II 思考のプロセス

数3の問題です。説明を聞いてもよく分からず、解説をお願いしたいです。

関数 f(x.y)=x°+xy+3y2 を考える。(x,y)=(1,1) においてこの関数の値を減少させる方向を一つ求めよ.

下から2行目はなぜ=0になるんですか？？

OOOO00 重要例題71 2変数関数の最大·最小 x, yを実数とするとき,x°-4xy+7y"-4y+3 の最小値を求め, そのと。 のx, yの値を求めよ。 基本 57 CHART S OLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから, この例題の xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。そして 基本形 a(x-b)?+q に変形する。 そして,更に残った定数項q(yの2次式) も (実数)20 基本形 6(y-r)。+s に変形する。 ここで,次の関係を利用する。 実数X, Yについて X?20, Y220 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数)は X=Y=0 で最小値んをとる。 解答) x°-4xy+7y?-4y+3 yを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf. xを定数と考えて 平方完成すると次のように なるが,結果は同じ。 7y°-4(x+1)y+x+3 ={(x-2y)?-(2y)?}+7y?-4y+3 =(x-2y)?+3y?-4y+3 =(x-2y)?+3}{{y 2? 5 =(x-2y) +3[y ールー2 3 x, yは実数であるから 2 (x-2y)20, (yー) 20 =7yー2(x+1)}P したがって, x-2y=0, y- =0 すなわち 2 3 4 5 エー 3 x=, y=ーで最小値をとる。 4 3,リミ 5 3

赤線部分の解説が分かりません。なぜそうなるのか分かりそうな方よろしくお願いします。

14 2変数関数/1文字固定法 一 20, y20, エ+yS2を同時に満たす x, yに対し, 15十 (東京経済大,改題) る=2.cy+ ax +4y の最大値を求めよ. ただし, aは負の定数とする。

例題92の(1)をグラフにすることはできますか？また指針にある"xとyは互いに関係なく値を取る変数"という言葉の意味を教えてください お願いします🙏

例題 92 2変数関数の最大·最小の天ち (1) x, yの関数 P=x°+2y°-6x+4y-2 の最小値を求めよ。ま 最関 (2) 0Sx<4, 0<yハ4のとき, (1)のPの最大値と最小値を求めよ。 (3) x, yの関数Q=x°-4xy+5yー6x+6y+10 の最小値を求めよ。 全例題79 指針 特に条件が示されていないから, xとyは互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは, 次のようにxとyを別々にとらえて処理する。 1 x, yのうちの一方の文字 [(1), (3) ともy] を定数と考 る。そして,基本形 a (x-p)°+qに変形する。 2 残ったg(yの2次式)も基本形 6(y-r)+s に変形する。 3 aX°+bY2+s(a>0, b>0, sは定数)は, X°20, Y?>0 であるから, X=Y=00 とき最小値sをとることを利用する。 えて、式をxの2次関数と。 答案(1) P=x-6x+2y?+4y-2 00 (x-3)*-9+2y°+4y-2 本基一左S T十(8-)=|+10 まず、xについて基本形に。 =(x-3)?+2y°+4y-11 =(x-3)?+2(y+1)?-13 (次に、yについて基本形に。 (P=aX?+by?+sの形。 0 E x, yは実数であるから (x-3)20,(y+1)。WO (実数)20 よって, Pはx-330, y+130のとき最小となる。 ゆえに x=3, y=-1のとき最小値 -13

早稲田大学の問題です。式変形が難しいです。恐らく合成を使うと思うのですが… 解説していただけると嬉しいです🙇‍♀️答えは－√29です。

α, Bを実数とする。2cos asin β +3sinasinβ+4cosβ の最小値は である。 解答 -V29

どうして０以上になるのかわかりません

重要例題 71 2変数関数の最大 最小 のOO00 x, yを実数とするとき, xー4.xy+7y°-4y+3 の最小値を求め, そのとき のx,yの値を求めよ。 基本 57 CHARTO OLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式 (条件式という)がないから, この例題の xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず を定数と考えて、 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)+q に変形する。 そして、更に残った定数項q (yの2次式)も 基本形 6(y-r) +s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X,Yについて X°20, y"20 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数) は X=Y=0 で最小値ををとる。 解答 x-4xy+7y?-4y+3 ={(x-2y)?-(2y)+7y°ー4y+3 =(x-2y)°+3y?-4y+3 合ッを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf。 xを定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、結果は同じ。 7y-4(x+1)y+x'+3 2(x+1)? V +3 =x-29)"+{y-})+ 5 ール x, yは実数であるから +x+3 7 (x-2y)20, (y-)20 したがって, xー2y=0, y-- 2 =0 すなわち 3 4 x==で最小値をとる。 3'

下線部の部分、｢x、yは実数であるから｣とありますが、なぜ実数であると言い切れるのかが分かりません。 教えていただきたいです！

指針>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 1 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pを生 よって, Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 期 140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) (1) x, Yの関数P=x"+3y?+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6の最小値を求めよ。 なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 重 (1 (2 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大 指 このようなときは, 次のように考えるとよい。 2次式とみる。そして, Pを基本形a(xーカ)+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も, 基本形6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+by?+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=alx-(by+c)}°+d(y-r)°+sの形に CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 解答 (1) P=x*+4x++3y?-6y+2 =(x+2)-2"+3y-6y+2 =(x+2)°+3(y-1)-3·1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+230, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値-5 (まず,x について基 次に,yについて基 4P=aX?+bY?+sの形 (x+2)?20, (y-1)"No (実数)20 イx+2=0, y-1=0を x=-2, y=! ゆえに と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 = (x-(y-2)}?-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 全 イx?+●x+■の形に。 (まず, x について基料 イ次に, yについて基す 1Q=aX?+bY?+sの 4(実数)20 x, yは実数であるから (x-y+2)*20, (y+1)?20 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1 =-3, y=-1のとき最小値1 ゆえに 4最小値をとるエ。 y 連立方程式 の解。