Question

ℎ

二次関数の問題です。問題文にも書いていないのに何故実数解を持つと分かるんですか？

|実数x, yがx。+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
重要 例題 119 2変数関数の最大 最小 (4)
187
求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。
点に注意。
指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x+y=2から文字を減らしても、
2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x として yを消去し, x?+y°=2 に代入すると
x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式になる。
xるこの方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。
[類南山大)
基本 98
入するとおい
合社
実数解をもつ→ Dz0 の利用。
ラフか
3章
13
CHART 最大·最
小 =tとおいて,実数解をもつ条件利用
THAHO
解答
2x+y=tとおくと
ソ=t-2x
参考 実数 a, b, x, y につ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
二は
ッともに2枚
る式は
1次,yが
から,yを
これをx+y°=2に代入すると
x*+(t-2x)°=2
5x-4tx+t°-2=0
等式)。
整理すると
このxについての2次方程式(2が実数解をもつための条件は、[等号成立は ay=bx]
2の判別式をDとすると
S-(S+x (ax+by)s(α+6')(x"+y°)
D20
a=2, b=1を代入すると
い。
『ここで
ー=(-2t)-5(-2)=D (2-10) aるあす (ト
x°+y°=2 であるから
ミード X
(2x+y)°<10
よって0>トーx8
t-10S0
吹式一
に直す。
D20から
ト>>1-
これを解いて
ー/10 Sts/10
ちら -V10 s2x+y</10
(等号成立はx=2yのとき)
送1-4t
t=±/10 のとき D=0 で, ② は重解x=
をもつ。
5
ーム
このようにして, 左と同じ答
えを導くことができる。
2.5
V10
のから y=±
2/10
5
t=±V10 のとき x=±
5
(複号同順)
のとき最大値(10
5
10
2/10
x=
5
したがって
リミ
V10
のとき最小値 - 10
2/10
ソミー
5
xミー
5
1?ry+2y?=2を満たすとき
直立求めよ。
S
2
|:2次不等式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こんぱち

まず、なぜ文字で置く(=tとおく)のか？について説明します。

『2x+yは1をとりますか？』と聞かれたらどうしますか？
これは、2x+y=1であり、しかも、x^2+y^2=2となるような、実数xとyが存在するかどうか？にかかってますよね。

これを、全ての数で試すのは骨が折れます。そこで、代わりに文字tを使って調べるわけです。

そうすると、
2x+yがtという値を取るかどうかは、x^2+y^2=2となるような実数xとyが存在するかどうか？にかかってくることになります。
このように問題の条件を読み替えて、(同値変形と言います)
2x+y=tとなるときにもx^2+y^2=2とすることができるか？を考えることにします。
前者の式2x+y=tを変形するとy=t-2xとなります。
この式は代入できるので代入すると、
x^2+(t-2x)^2=2となります。
yが消えているので、xのみの方程式となりました。この式を満たす実数xが存在するためには、どんな条件が必要でしょうか？
といことから、それはこの方程式が実数解をもつこと、だとわかります。

ℎ

わざわざ丁寧にありがとうございます😭💞何故x^2+(t-2x)^2=2の式が成り立つ為にはこの方程式が実数解を持つことなんですか？？

こんぱち

x^2+(t-2x)^2=2 をみたす実数xを求めてみましょう。
それはこの式をxの二次方程式とみて解く必要がありますよね。
そして実際解けばわかりますが(解の公式を使います)、解はtを使って表すことができます。
しかし、tを使って表した解はいつでも存在するわけではなく、tの値によっては存在しないこともあります。

このようなときに、解が存在するかどうかを教えてくれるのが方程式の判別式なので、判別式を考えます。

ℎ

めちゃくちゃ分かりやすいです😭💞本当にありがとうございます🎶