四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) S (2) √√x²+1 dx 基本220 指針▷根号内が2次式の無理関数について,'-x"や、x+α" を含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが,後者の場合、計算が面倒になることか ある(次ページ参照)。そこで,x+ A(Aは定数) を含む積分には, 【CHART 解答 1 √x²+1 x+√x+4=t とおく(････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)x+1=(x/√x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 √x²+Ã ħŽU¯_x+√√x²+A=t&< (1)x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt √√x² +1+x ゆえに CHART √²+1 よって ゆえに -dx よって dx=dt すなわち 1 √x²+1 1 2+1 316407==x√x²+1=√x²+1=1 dx +x=1 .JJE √1250 >=x√x²+1 =√(√x²+1=√x²+1 (1) の結果から したがって x}dt=log|t|+C =log(x+√√x²+1)+C (2) √√x²+1 dx = S(x) √x²+1 dx=x√x² +1 -√√√₂x²+1 dx 2 -dx= ・dt t (1) S √x²+1 • S√x ² + q ² dx 5572853PY 2√√x²+1 dx=x√x³+1+√√√²+1 dx √ √x ² + 1 dx = 1/² ( x √/ x ² + 1 + √ √/ x ² + 1 x S=1/12(x+ 1 dx x2+1 練習 ⑩221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 dx =x√³x²³ +1 -√√√x ² + 1dx + S₁ 15) (T -dx √x2+1 -dx=dt 00000 (2) √√√x² + a²³ dx ◄(√x²+1) = {(x²+1)²}, =(x²+1) • (x²+1) 2x 2√x2+1 = S√x+1dx=1/{xv/x+1+10g(x+√x+1)}+C 1+1+x) x+√x²+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 x x2+1 |x+1>x=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 < x2+1=(√x2+1)^ に着目 して,分子の次数を下げる。 同形出現。 →p.363 の解答でIを求 めるのと同様の考え方。 +/yo に (1) の結果を利用。 (3) S dx SA よって

黄色い線を引いているところが分かりません。 〜の一次式、完全平方式の語句の単独の意味は理解しているつもりです。

56 より, 0-1 x2+axy+3y²-3x-5y+2がx,yの1次式の積となるように、 定数αの値を定めよ. 112-m (1) xの2次方程式x2+axy+3y²-3x-5y+2=0 .....① の判別式をDとすると,①の解は, x2+(ay-3)x+3y²-5y+2=0 x==(ay-3) ± √D a と式変形できる. 2 したがって, 与式は, (5x) = (x − − (ay_3) + √D}{x__(ay-3)-√D 2 20 D1 4 より, 2a²-15a+28=016 38549 (a-4) (2a-7)=0 7拡方程式 よって、a=4, 20, がただて tits =1+x+ D=(ay-3)2-4(3y²-5y+2) =(a²-12)y2-(6a-20)y+1 α²-12 = 0 つまり, α=±2√3のとき, Dがyの1次式に なるから√Dはyの1次式とはならないので,不適. HOM したがって, a≠±2√3 で, 与式がx,yの1次式の積に なるのは,Dがyについての完全平方式となるときである。S つまり, (a²-12)y-2(3a-10)y+1=0 の判別式を D と すると,求める条件は, Di=0 である. 1=(3a-10)²-(α²-12)=8a²-60α+112 = 0 101 0=(1-1) (70) 04-2([+B)(-6)=0 xについて整理 解の公式を用いる. 共 10.2mm S 0110 などでもよい Party A the Dが完全平方式のとき, D=(1次式) 2②は |1次式| yについての2次方程式 5)A て考える. [+p=p D+³0=(1+5) D=DXD=D S+DE=+( Ita≠±2√3 を満たす. のとき√D=2y- をもつと足α=4 2つの2次方程式 12/2のとき、 a= p+(I+y)+(1+p2 +(√D=12/21y-21 +(I+p)+(1+ps+(√D= とお

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

無理関数の積分は置換しなければ計算できないのですか？

積分です。赤いところは何でしょうか。また、どうやって求めた？のでしょうか。

根号を含む弍し無理関数)、三角関数を含む式の積分は、適 当な変数変換で有理式の積分に帰着できる (例)無理関数 1 I s x+2√x=1 「x1 とおくと t I=S || = 2t +2+1+2t af 2 ttl dt dxc dt = 2 x = t²tl₂ 2t (++1)= dt (++1)= 2tdt=dx dt= s =2loglttll+ 2(t+1)=2 dt (t+1)= ttl C

この丸がついている問題の微分がわかりません。 途中式も教えて頂きたいです...。 宜しくお願いします！！

( 無理関数). -3 (三角関数 ) . (2) y = 1 + (5) y =√1-x² (逆三角関数). (2) y = tan³ T (5) y = cos (1 - 4x) x² - 4 ( 指数関数 ) . (2) y = arccos 2x (対数関数 ) (2) y = (2) y=e-²² 2x (5) y = xe²z re 3x³√x X logr 5) y = log (log r) Jogx-1 (logrezz (3) (6) y = = X √1+x (3) BYY (6) (3) y = cos²x sin x sin x + cos x (JC +2) 2 (1+x) = Sinza, (3) y = arctan x³ COS X (6) = log|tan - 2 = (e³x + 2)4 = e² - 1 ex +1 2 (+ 572x Ze* (ex + 1)² = log (x + √²+1) 一 √√√x²+

(数III) 無理関数を習ったのですが、先生の講義、とくにノート波線部がよく分かりませんでした。 ルートの中身が０以上と言えるのはyが実数と初めに定義しているときではないのですか？ つまり、a>0, y実数 のとき ax≧0 ではないのかなーと思いました。 自分の√の理解が... 続きを読む

££R*X Y = √ax a>O OYE ax≧0から y = √√ax ⇒ 4². a (両辺ともに0以上) O x20, y≤0 = x (x = 0, y ≤0) y = √ax X x= 50/0

数3の無理関数です。 どうやってyの最小値を求めるのでしょうか？ xに代入は無理だし、図を見ても正確な値がわからないと思ったのでできませんでした。 教えてください。よろしくお願いします。

g=F2%+6+1 (-5<C<1) 大 小 今=-2(0-3)+| 最小値 C=1 のとき Y=3 最大値2C=-5のとき=5 ④ 344か5 の -5 1 3 登録

この問題の解説をお願いします。どの公式を使えばいいのか分からないので公式も教えて貰えると助かります

9.12 次の無理関数の定義域と値域を求めてグラフをかけ. また, 座標軸との共有 点の座標を求めよ。 (1) y= Ve+2+1 (3) y=-Vz+2+2 (2) y= -V-+2 (4) y= v3- 2z-1