この解説をお願いします。

4 xの多項式f(x) が次の条件を満たしている。 (A)(0)=0 (B) (x+1)f'(x) =2f(x) -4 (1) f(x) をxのn次式とするとき, nの値を求めよ。 (2) f(x) を求めよ。

解答の赤矢印部分の理解が出来ません。左辺は一次式になるのではないのでしょうか？ 教えてください🙇‍♀️

えた守い。 (1) f(x)をn次式 (n は正の整数)とすると, x2f'(x) は (n+1) 次式 であるから, 左辺は (n+1) 次式である。 n+1=3 すなわち n = 2 また,右辺は3次式であるから よって. f(x)は2次式である。 次 式 , x2f'(x) は (n+1) f(x) は次式であるから x2f'(x) f(x) は (n+1) 次式。

この問題で商が一次式になると分かるのはどうしてですか。

例題6 xについての多項式x+ax2+bx+3をx2+x+1で割ると,余りがx+4 となるように、 定数 α, b の値を定めよ。 また, そのときの商を求めよ。 [解答] 商は1次式になるから cx+d とおくと x3+ ax2+bx+3= (x2+x+1)(cx+d) + x + 4 この等式はxについての恒等式である。 右辺をxについて整理すると x3+ax2+bx+3=cx3+ (c+d)x2+ (c+d+1)x + (d +4) 両辺の同じ次数の項の係数を比較して 1=c,a=c+d,b=c+d+1,3=d+4 これを解いて よって a=0, b=1,c=1, d=-1 a=0, b=1, 商はx-1

青チャート数2b　21の解説について。段取りはわかったのですがなぜanx^n-1という最高次数の項と2xが比較されているのでしょうか?恒等式というのは存じているのですが、g(x)の中に同じ次数を持ったやつがいる可能性はないのですか？ 申し訳ないです。解説お願いします。

重要 例 21 等式を満たす多項式の決定 多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)f(x)=2x を満たし, f(0)=1 [一橋大] であるという。このとき, f(x) を求めよ。 指針 例えば、f(x)が2次式とわかっていれば, f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。 →f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+.. (a=0, n ≧1) とおいて 進める。 f(x+1)f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ,右辺2x と比較するこ とで次数 n と係数 α を求める。 なお, f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 f(x)=c (cは定数) とすると, f(0) = 1から f(x)=1 解答これはf(x+1)- f(x)=2.x を満たさないから,不適。 よって, f(x)=ax+bxn-1+... ると (a≠0, n ≧1)(*) とす f(x+1)f(x) ...... =a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax+bx"-1+.....) =anx-1+g(x) ただし, g(x) は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最 高次の項を比較して n-l=1 ...... ..0, an=2 ..... ....... よって 2x+6+1=2x この等式はxについての恒等式であるから すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1 ② b+1=0 基本 15 この場合は, (*)に含ま れないため、別に考えて いる。 ◄(x+1)" ①から n=2 ゆえに、②から a=1 このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 またf(x+1)-f(x)=(x+1)^+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが, =2x+6+1 結果は同じ。 =x"+nCix"-1+nC2x"-2+... のうち, a(x+1)+1-ax” の最高 次の項は anxn-1 で 残 りの頃はn-2次以下と なる｡ <anxn-1と2x の次数と 係数を比較。 係数比較法。 POINT 次数が不明の多項式は,n 次と仮定して進めるのも有効

左辺の最高次の項(赤線部)がなぜこれになるのか分かりません🙇🏻‍♀️

例題 186 関数の決定 xの多項式f(x) の最高次の項の係数は1で, (x-1)f'(x)=2f(x) +8 がつねに成り立つ. このとき f(x) を求めよ. 考え方 まず, f(x) の最高次の項のみを考える. また, 「つねに成り立つ｣ とは 「恒等式｣ ということである. ■解答 f(x) は定数関数にならないから、 最高次の項をx" (nは 自然数) とおくと, f'(x) の最高次の項は, n-1 したがって, 与式の左辺の最高次の項は, nx" ・① 右辺の最高次の項は, 2x" ·..... ② 与式は恒等式であるから, ①, ②より, nx"=2x" も恒等 式となる. よって, n=2 これより, f(x) は2次式なので, f(x)=x2+ax + b とお くと,f'(x)=2x+α 与式に代入すると, (x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8 (a+2)x+(a+26 +8) = 0 ......③ ・③ ③がxについての恒等式であるから, a+2= 0, a + 26 +8= 0 したがって, a=-2, b=-3 よって, f(x)=x²-2x-3 **** (南山大) 定数関数なら f'(x)=0 より f(x) = -4 となるが, これは題意に反する. 最高次の項の係数は 1 f(x) をn次式とす ると,f'(x) は (n-1) 次式 ③がつねに成り立つ ⇔ どんなxの値に ついても③が成 り立つ 係数比較は必要十分 性をもつ.

この問題2つの解説をお願いします。

4 # xの多項式f(x) が常にf(x) + x2f'(x) =kx3+kx + 1 を満たす とき, 次の問いに答えよ。 但し, kは0でない定数である。 (1) 多項式f(x) をxのn次式とするとき, nの値を求めよ。 (2) 多項式f(x) を求めよ。 "ah²-h³

なんで右辺の最高次の項が2x^nになるのか分かりません！！

364 第6章 微分法 Think 例題 186 関数の決定 の多項式f(x)の最高次の項の係数は1で, (x-1)f'(x)=2f(x) +81 (S-PR (0)\(\\\ がつねに成り立つ。 このとき f(x) を求めよ. (南山大) [考え方 まず、f(x) の最高次の項のみを考える. また、「つねに成り立つ」とは 「恒等式」ということである。 mimi 解答 f(x) は定数関数にならないから, 最高次の項をx" (nは n-1 自然数)とおくと、 f'(x) の最高次の項は, 1 したがって, 与式の左辺の最高次の項は, 右辺の最高次の項は、 2x" 与式は恒等式であるから, ①,②より, nx"=2x" も恒等 式となる. よって, n=2 STARS これより, f(x)は2次式なので, f(x)=x2+ax+b とお くと,f'(x)=2x+a 与式に代入すると (x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8 (a+2)x+(a +2b+8)=0 ③がxについての恒等式であるから、 =a+2=0, a +2b +8=0 (公簿) したがって Focus ( RSD a=-2,b=-3 よって, f(x)=x²-2x-3 a=0+0-01-0-8=(0) 88-0+ (S-)-01-(8-)-8=(3- nxn- N nxn ..... 練習 (1) x 多項式f(r) |100 の 3+601-58- +56=0+501- ***** f(x)=a,x"+......+ax+a (a,0)とおくと, f'(x)=na"x"'++αとなる. 定数関数なら (f'(x)=0 より f(x) = -4 となるか これは意に反する 最高次の項の係数に 1 f(x)をn次式と ると,f'(x) は (n-1) 次式 f(x)が次式(n≧1) ⇒f'(x) は (n-1) 次式 f(x) をn次式として, 最高次の項からnの値を決定する ③がつねに成り立っ どんなの値に ついても③が疲 り立つ 注》例題186 において, f(x) が条件を満たす (最高次の項の係数が1の) 定数関数, つまり, f(x)=1のとき, 与式は, (左辺)=(x-1)0=0, (右辺)=2·1+8=10 となり不適よって, f(x) は条件を満たす定数関数にならない. f(x) は定数関数ではないので、 係数比較は必要十分 性をもつ. JCB) (WY WEST また、例題 186 では 「最高次の項の係数は1」 とあるので「x"」 とおいたが、係数がわ Loor からないときは上のように 「a,x"」 とおくとよい. 例

演習β 第29回 6 (2)(3)の解答を教えてください。

整式f(x) について,恒等式f(x2)=xf(x+1)-2x+2x2 が成り立つとする. (1) f(0), f(1), f (2) の値を求めよ. (2) f(x) の次数を求めよ. (3) f(x) を決定せよ.

この問題の解き方がわからないので教えてください。

整式 P(x) を x-2で割ると余りが4であり、その商をさらに+3で割る と余りが3であった. P(x) を x2+x - 6およびx+3で割ったときの余りを それぞれ求めよ.

お願いします🙇‍♀️

- a+b 2x+1 (2) 多項式P(x) を x−2で割った余りが 7.xで割った余りが 4 である。 P(x) を x2-2x で割った余りを求めよ。 p -a n