Question

なずな

この問題2つの解説をお願いします。

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#
xの多項式f(x) が常にf(x) + x2f'(x) =kx3+kx + 1 を満たす
とき, 次の問いに答えよ。 但し, kは0でない定数である。
(1) 多項式f(x) をxのn次式とするとき, nの値を求めよ。
(2) 多項式f(x) を求めよ。
"ah²-h³

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

なずな様
（１）f(x)を n 次式とすると f(x)+x²f'(x) は (n+1) 次式になる。
　　条件式の右辺は 3 次式だから　n+1=3　∴n=2.　■
（２）(1)の結果から f(x)=ax²+bx+c　…①　(a≠0)
　　とおける。このとき f'(x)=2ax+b であるから
　　 (ax²+bx+c)+x²(2ax+b)=kx³+k²x+1
∴2ax³+(a+b)x²+bx+c=kx³+k²x+1
x についての恒等式とみて
　　　2a=k , a+b=0 , b=k² , c=1　←k≠0に注意を
　　 ∴a=-1/4 (a≠0に適) , b=1/4 , c=1 (k=-1/2)
　　これを①に代入して　f(x)=-(1/4)x²+(1/4)x+1.　■

なずな

(1)の(n+1)次式になるというのが分かりません。どうしてそうなるのでしょうか？

Take

なずな様
f(x)を n 次式とすると f'(x) は (n-1) 次式。　←微分すると次数が 1 つ下がるため
よって、x²f'(x)は 2+(n-1)=(n+1)次式になります。
したがって、f(x)+x²f'(x) も (n+1) 次式です。　←n次の f(x) と(n+1)次の x²f'(x) を加えたものは (n+1) 次式

なずな

詳しく教えて頂きありがとうございます！とてもわかりやすいです✨️