（1）、なぜ2つの解が条件なのに判別式に=含むんですか？🙇‍♂️

基本 例題 49 2次方程式の解の存在範囲 ) 本についての2次方程式(x+a+6=0が次のような解をもつよう (1) 2つの解がともに2以上である。 の (2) の解は2より大きく、他の解は2より小さい。 p.76 基本事項 基本48 CHART & SOLUTION 実数解 α β と実数kの大小 a-k, β-kの符号から考える (1) 2以上とは2を含むから、 等号が入ることに注意する。 a≥2, B≥2 (a-2)+(8-2)≥0, (a-2)(B-2)≥0] (2)<2<BまたはB<2<α (α-2) (B-2)<0 解答 x²-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6a-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同 時に成り立つことである。 D≥O (a-2)+(B-2)≥0 ......② E Linf. 2次関数 f(x)=x²-(a-1)x+a+ このグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, ƒ(2)≥0 x: a-1 2 (a-2)(B-2)≥0 ③ ①から a²-6a-23≥0 ゆえに ②から a≤3-4√2, 3+4√2 ≤a... α+β-4≧0 a≧5 ...... ⑤ ...... ④ (a-1)-4≥0 f(2) よって ③から αβ-2 (α+B)+4≧0 ゆえに a+6-2(a-1)+4≧0 ④ ⑤ ⑥ の共通範囲を求めて よって a≦12... ⑥ 2 a (2)f(2) <0 B (p.76.5 補足 参照) 6 3+4√2 Ma≦12

数Ⅰの二次関数の問題です。 x=-1,1で場合分けする理由を教えてください。 ［2］に含めてもよいと考えてしまいました。 よろしくお願いします。

重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 000 方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が1<x<1の範囲に少なくとも1つの をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 基本 指針 条件が｢-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに 大きく分けて次のA, B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ A [1] 方程式の2つの解をα, B(α≦β) として, それぞれの場合につ + a いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] ® [3] -1<x の範囲に B [4] a + B x は -1<x<1 の範囲に1つ、 <-1 または 1<x の範囲に1つ + x & x-x-2=0 (x-21 (x + 1) = 0 α=-1 A B= + -1 a -1 B1x x=-1と-1<x<1 の範囲に1つ f(x)=x2+(2-α)x+4-2aとし, 2次方程式f(x)=0の 解答 判別式をDとする y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 x= である。 2 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち、次の (i)(iv) が同時に成り立つことである。 (1) D≥0 (Ⅱ) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f(1)>0 (i) D-(2-a)2-4.1.(4-2a) =d+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0から (a+6)(a-2)≥0 a≤-6, 2≤a ゆえに a-2 (ii) x= について 2 よって -2<a-2<2 ****** ① -1<a-2 <1 1 の範囲 2-a x=- 2-1 条件は 「少なくとも1 であるから, グラフがx軸 場合,すなわ この場合も含まれ [1] 軸 D=0 ゆえに 0<a<4 2 (i) f(-1)=-α+3であるから よって a<3 3. -a+3>0 +

(１)の問題です！ ①黄色い線で引いたところについてなんですが、なぜD>0じゃなくてD≧0なんですか？D=0は解は1つなると習いましたが。 ②青い線で引いたところについてですが、1より大きくならないといけないのにどうして0になってるんですか？

基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 p.87 基本事項 2 答 指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0 の2つの解をα β とする。 (1)2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。→α-3とβ-3が異符号 以上のように考えると,例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα, βとし, 判 | 別解] 2次関数 別式をDとする。 (0+1)=2) | (1) 1 =(b+1)(p-2)= f(x)=x2-2px+p+2 このグラフを利用する。 D=(-)²-(p+2)=p2-p-2=(p+1)(p-2) 解と係数の関係から a+β=2p, aβ = p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は 20 D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 D≧0 から よって (p+1)(p-2)≥0 p≤−1, 2≤p ...... ①e-(8-88- (α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+ β-2> 0 から 2p-2>0よってp>1: ② (α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から Op+2-2p+1>0),(E- x=p> 軸について f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 カ 0 10 x=py=f( a P B よって <3 ...... ③ 求めるかの値の範囲は, 1, 2, ST ③の共通範囲をとって -10 123 p (2) f(3)=11-5p<0 p> 11 い 解 題意から,α=βは えない。 2≤p<3 (2) α <β とすると, α<3<βであるための条件は (a-3)(B-3)<0 すなわち αβ-3(a+B)+9<0 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 - 30 SI 11 よって p> SI A=x #301

この問題の解き方がわかりません。解説お願いします

20αは定数とする。 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 x2+2(a-1)x+α2-3a+4=0

2次方程式の解の問題です。 この問題は変域内の数字をxに代入した数と0の関係の場合を考えてから求めてますが、判別式と0の関係を求めるだけでは何故駄目なのですか？判別式の関係式のみでこの問題が解けない理由を教えて欲しいです。

(2) 2次方程式 2-2(a+1)x+3a=0 が, -1≦x≦3の範囲に2つの異な る実数解をもつような実数αの値の範囲を求めよ. (東北大)

写真の問題の緑部分なのですが、D2<0にk≠-8がつくのは分かるのですが、どうしてD1の方にもk≠-8がつくんですか？ 直接的には関係ないですよね。どなたか教えてください！

74 基本 例題 41 2つの2次方程式の解の判別 00000 kは定数とする。次の2つの2次方程式 x²-kx+k2-3k=0 ...... ①. (k+8)x2-6x+k=0 ...... ② について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。 ( (1) ① ② のうち, 少なくとも一方が虚数解をもつ。 基本40 (2) ①②のうち, 一方だけが虚数解をもつ。 指針②については、2次方程式であるから、2の係数について,k+80 に注意。 ① ② の判別式をそれぞれ D1, D2 とすると, 求める条件は (1) D, <0 または D2<0 解を合わせた範囲 (和集合) (2)(D10 かつ20) または (Di≧0かつ D2 <0) であるが, 数学でも学習したよ うに、D<0,D2<0 の一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。 チャート式基礎からの数学Ⅰ+A p.200 参照。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 ax2+bx+c=0とい ②の2次の係数は0でないから k+8≠0 すなわち kキー8 普通, 2次方程式 解答 このとき,①,②の判別式をそれぞれD1, D2 とすると D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k+12k=-3k(k-4) TAND2 4 =(-3)-(k+8)k=-k2-8k+9 8+(S)=1+s =-(k+9)(k-1) (1) 求める条件は,んキー8のもとで D<0 またはD2<0 うときは、 特に断りが ない限り, 2次の係数 αは0でないと考え D1 < 0 から k (k-4)>0 kキー8であるから ゆえに<0,4<k 20k<-8, -8<k<0, 4<k ...... ③いく D2 < 0 から (k+9)(k-1)>0 - ④ よって k<-9,1<k..... ④-9-8 014 k 求めるんの値の範囲は, ③と④ の範囲を合わ 細菌 せて k<-8, -8<k<0, 1<k 3*** 0>0 (2) ① ② の一方だけが虚数解をもつための条件 は, Di < 0, Dz < 0 の一方だけが成り立つことで ある。 -9-8 201 ゆえに、③④の一方だけが成り立つの範囲 を求めて-9≦k<-8,-8<k<0, 1<k≦4 する ①, x2+3x+3α = 0 ... ② について、次の 練習 2次方程式x2+4ax+5-a=0 ...... ③ 41 条件を満たす定数αの値の範囲を求めよ。 (1) ① ② がどちらも実数解をもたない。 (2) ①,② の一方だけが虚数解をもつ。 [久留米大] E p.77 EX26, 27

二次関数です。灰色でマーカーしているところが分かりません。 噛み砕いて教えて頂きたいです。

024 の2次方程式の解の個数 の方程式 +2ax2+a+6=0が,異なる4つの実数解をもつ定数αの値 の範囲を求めよ. 解 x2 = t ...... ① とおくと, 与式は t2+2at + a + 6 = 0 ......(2) ①より、与式がちょうど4つの実数解をもつのは、もの2次方程式 ②が異なる2つの 正の解をもつときである. f(t) = t2 +2at + α+6とおくと,f(t)=(t+a)2-d²+a+6より,y=f(t)の軸は t = -a である.f(t)=0の判別式をDとすると, 条件は D=a2-(a+6)>0 ←判別式の条件 -a> 0 f(0)=a+6>0 [(a− 3) (a + 2) > 0 a <0 a > -6 -6<a<-2 ←軸の条件 ←端点の条件(t>0より) ...a <-23 <a Y y = f(t) ○ t=-a

下線部の4acが4･3･4になるのが理解できません( т т )

重要 例題 41 2次方程式の解の条件と確率 ①①①①① 000 3,4,5,6,7,8 から3つの異なる数を取り出し、 取り出した順にα, b, c とす る。このとき, a, b, c を係数とする2次方程式ax2+bx+c=0 が実数解をもつ 確率を求めよ。 基本36 指針 この問題では,数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。 2次方程式 ax+bx+c=0)の実数解の個数と判別式D=b4acの符号の関係 D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ D≧0 のとき, ...... ★ D=0 のとき, ただ1つの実数解 (重解)をもつ実数解をもつ D<0 のとき, 実数解をもたない ゆえに, D=b2-4c≧0 を満たす組 (a, b, c) が何通りあるか,ということがカギと なる。この場合の数を 「a, b, cは3以上8以下の整数」, 「a=bかつbcかつc≠α」 という条件を活かして, もれなく、重複なく 数え上げる。 解答 できる2次方程式の総数は P3=6・5・4=120 (通り) 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,実数 解をもつための条件は D≧0 ① 1組 (a, b, c) の総数。 本 D=62-4ac であるから b2-4ac≧0 a,38, 3≦cs8であり, a≠cであるから b'≧4ac≧4・3・4 6=7,8 } (*) 28 指針 ★の方針。 本 acのとりうる最小の値 に注目する。 <72=49>48 であるから 6=7,8 ①より ゆえに 62≧48 よって 6=7 のとき, ①から 49 724ac すなわち ac≦ =12.25 -206 4.28 この不等式を満たすα, cの組は (a, c)=(3, 4), (4, 3) (n) (E) b=8のとき, ①から 824ac すなわち ac≦16 この不等式を満たす α, c の組は (a, c)=(3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) 2+4 1 したがって、求める確率は = 120 20 3以上8以下の異なる2 数の積は, 小さい順に 3・4=12, 3･5=15, 3・6=18>16 以後も16より大きい。 よって, a,cの組を絞る ことができる。 >

マーカーを引いた部分の式は何故必要なのですか？？

基礎問 10 第1章 式と曲線 3 双曲線 (I) 次の問いに答えよ. (1) 双曲線 4.2--16.z+2y-1=0 の焦点の座標と漸近線の方程式 を求めよ. (2)2つの定点A(1, 2), B(1, 4) からの距離の差が1となる点P(x, y) の軌跡の方程式を求めよ. (3) 点 (1,0) を通り, 双曲線 x2 (付) 4 -y2=1 に接する直線の方程式を求めよ. 精講 双曲線については,次の知識が必要です. <定義> -=0 2つの定点 A, B からの距離の差が 一定の点Pの軌跡, すなわち, -√a²+62 |AP-BP|=一定 A -ao (一定値は頂点間の距離) 〈標準形〉 (主軸 軸) x² •頂点は (±a, 0) -=1 (a>0,6>0) で表される図形は, 双曲線で ・中心は原点 • 焦点は (±√2+62, 0) (<定義> ではA,Bが焦点) 漸近線は a 双曲線上の点 (x1, yi) における接線の方程式は X1X Yiy -=1 a² 62 解答 al 8 188 P va2+62 DC YB 26 + (1) 4.x²-y-16x+2y-1=0 は4(x-2)-(y-1)=42 (x-2)(y-1)2 22 42 x2 y2 - -=1 ここで,双曲線 1 の焦点は(±2√5,0) 22 42 漸近線は, =0,すなわち, y=±2x 2 =0

［1］の①の波線部はなぜ＞=になるのでしょうか？指針では実数解2つ、1つに場合分けして考えていて、[1]はそのうちの実数解2つの場合分けの部分に当たると思うのですが、＞=だと実数解は1つとなってしまう場合がありませんか？

重要 例題 127 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 方程式x2+ (2-a)x+4-2a=0が-1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解 をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 指針 [A] -1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解を含む) [B] -1<x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ 基本 125 126 ような場合が考えられる。 [B] の場合は、解答の[2]~[4] のように分けて考える。 例題 125,126 同様,D,軸, f(k) が注目点である。 19 *40 解答 判別式をDとし,f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とする。 ( [1] f(-1)=-a+3,f(1)=-3a+7 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条件は D=(2-a)-4・1・(42) 0....... ① 2-a 2 =0 D>O + ② 1 x [2] 4 2-a |軸x=- について lf(-1)=-α+3> 0 ...... ①から ゆえに α6,2≦a ... a2+4a-12≧0 ... ③間(1)=-3a+7> 0 よって (a-2)(a+6)≥0⚫FUCHS ⑤ ②~④を解くと,解は順に -1 +1 1x 7 0<a<4 ・⑥,a<3 ...... ⑦, a<- 3 (8 7 ⑤~⑧の共通範囲は 2≦a< 1) [3] a=3 3 または [4] a= って -a+3=0 ゆえに このとき、方程式はx2-x-2=0 よって [4] 解の1つがx=1のときは f(1)=0 (2 7 -3a+7=0 ゆえに a= 3 このとき、方程式は 3x2-x2=0 (x+1)(x-2)=0 よって、他の解はx=2となり, 条件を満たさない。 [2]解の1つが1<x<1, 他の解がx<-1 または 1 <xにあ るための条件はf(-1)(1) 0 って (a-3)(3a-7)<0 [3] 解の1つがx=-1のときは .-a+3)(-3a+7) < 0 72 7-3 23 ゆえに <a<3 3 たない。 f(-1)=0 (1). 6 [⑤ [ .. .. (x-1)(x+2)=0 2 [1], [2] で求めたαの値の範 この値を -6 0 2734 3 28 a [4] r[1] [2] 7-3 3 a