Question

畦道

数Ⅰの二次関数の問題です。
x=-1,1で場合分けする理由を教えてください。
［2］に含めてもよいと考えてしまいました。
よろしくお願いします。

重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
000
方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が1<x<1の範囲に少なくとも1つの
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
基本
指針 条件が｢-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに
大きく分けて次のA, B の2つの場合がある。
A-1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解は2つと考える)
® -1 <x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
A [1]
方程式の2つの解をα, B(α≦β) として, それぞれの場合につ
+
a
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
®は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
® [3]
-1<x
の範囲に
B [4]
a
+
B x
は
-1<x<1 の範囲に1つ、
<-1 または 1<x の範囲に1つ
+
x
& x-x-2=0 (x-21 (x + 1) = 0
α=-1
A
B=
+
-1 a
-1 B1x
x=-1と-1<x<1
の範囲に1つ
f(x)=x2+(2-α)x+4-2aとし, 2次方程式f(x)=0の
解答 判別式をDとする
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線
a-2
x=
である。
2
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち、次の (i)(iv) が同時に成り立つことである。
(1) D≥0 (Ⅱ) 軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0 (iv) f(1)>0
(i) D-(2-a)2-4.1.(4-2a)
=d+4a-12=(a+6)(a-2)
D≧0から (a+6)(a-2)≥0
a≤-6, 2≤a
ゆえに
a-2
(ii) x=
について
2
よって
-2<a-2<2
******
①
-1<a-2 <1
1
の範囲
2-a
x=-
2-1
条件は
「少なくとも1
であるから,
グラフがx軸
場合,すなわ
この場合も含まれ
[1]
軸
D=0
ゆえに 0<a<4
2
(i) f(-1)=-α+3であるから
よって
a<3
3.
-a+3>0
+

(iv) S(1)=-3a+7であるから
3
-3a+7>0
よって
a<
</
7
******
(4)
7
2≤a<
3
①~④の共通範囲を求めて <12/
[2] 解の1つが-1<x<1にあり、他の解がx<-1
または 1 <xにあるための条件は
ゆえに
よって
(-a+3)(-3a+7)<0
(a-3)(3a-7)<0
f(-1)f(1)<0
7
ゆえに
<a<3
3
[3] 解の1つがx=-1のとき
[2]
-6 02734
または
[3]=3
f(-1) = 0 から
-a+3=0
ゆえに
a=3
このとき, 方程式は
x2-x-2=0
よって
(x+1)(x-2)=0
ゆえに,解はx=-1, 2となり, 条件を満たさない。
[4] 解の1つがx=1のとき
2
a
215
3章
[4] a = 1/1
13
2
次
f(1) = 0 から
-3a+7=0
ゆえに
a
73
このとき, 方程式は
3x2-x-2=0
2-3
+
よって
(x-1)(3x+2)=0
-1
2
ゆえに,解はx=- - 12/31となり、条件を満たす。
[4]
3
- [2]
求めるαの値の範囲は [1] [2] [4] の結果を合わせて
2
7-3
2≦a<3
3
D
a

数ⅰ 二次関数

Answer 1

よし

片方が-1上であるとき果たしてもう片方は範囲内であるかを調べています。範囲内であればokでありますが範囲外であれば不適です。それを調べるために一旦aの値を求めて二次方程式をつくり片方が範囲内かどうかを調べる必要があります。したがって、[2]に含めるのは状況が違うため含めるのは不適であると考えます。