必解や52.(2本のばねによる単振動〉
図のように,なめらかな水平面上に質量 m の物体Pが同
じばね定数kをもった2つのばね A, Bとばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。水平面上右向きにx軸をとり,
このときの物体Pの位置を×座標の原点0とする。物体PをばねAのほうへ原点Oよりaだ
けずらしてからはなす。このとき物体Pは単振動する。単振動は等速円運動のx軸上への正
射影の運動であるといえる。時刻 t=0 において, 物体Pはちょうど×座標の原点Oを正の
向きに向かって通過した。ばねの質量はないものとして, 次の問いに答えよ。
(1)任意の時刻tにおける物体Pの位置xおよび速度かを,等速円運動の角速度ωを用いて
A
B
00000 p m
表せ。
(2)任意の時刻tにおいて物体Pが位置xにあるときの加速度 αを,ωとxを用いて表せ。
また,2つのばねAとBから受ける力Fを,kとxを用いて表せ。
(3) 物体Pが x=a に達してから,初めて原点Oを通過するまでの時間 to と,初めて
x=
2
-aを通過するまでの時間tを,kとmを用いて表せ。
(4)物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置,およびはばねの弾性力による物体
Pの位置エネルギーUの最大値とそのときの位置を表せ。ただし,wやTを用いないこと。
(5) 物体Pが単振動しているときの速度と位置×の関係を求め,vを縦軸に,xを横軸にと
ってグラフに示せ。このとき座標軸との交点を,a, kおよび mを用いて表せ。また、物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
【香川大 改)