Question

敦

物理、単振動の問題です。
解説の
(3)K=2k
(4)U最大=2×1/2ka² の「2×」
(5)2×1/2kx²+1/2mv²=ka² の「2×」
の意味が分かりません

物理
単振動
ばね

必解や52.(2本のばねによる単振動〉
図のように,なめらかな水平面上に質量 m の物体Pが同
じばね定数kをもった2つのばね A, Bとばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。水平面上右向きにx軸をとり,
このときの物体Pの位置を×座標の原点0とする。物体PをばねAのほうへ原点Oよりaだ
けずらしてからはなす。このとき物体Pは単振動する。単振動は等速円運動のx軸上への正
射影の運動であるといえる。時刻 t=0 において, 物体Pはちょうど×座標の原点Oを正の
向きに向かって通過した。ばねの質量はないものとして, 次の問いに答えよ。
(1)任意の時刻tにおける物体Pの位置xおよび速度かを,等速円運動の角速度ωを用いて
A
B
00000 p m
表せ。
(2)任意の時刻tにおいて物体Pが位置xにあるときの加速度 αを,ωとxを用いて表せ。
また,2つのばねAとBから受ける力Fを,kとxを用いて表せ。
(3) 物体Pが x=a に達してから,初めて原点Oを通過するまでの時間 to と,初めて
x=
2
-aを通過するまでの時間tを,kとmを用いて表せ。
(4)物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置,およびはばねの弾性力による物体
Pの位置エネルギーUの最大値とそのときの位置を表せ。ただし,wやTを用いないこと。
(5) 物体Pが単振動しているときの速度と位置×の関係を求め,vを縦軸に,xを横軸にと
ってグラフに示せ。このとき座標軸との交点を,a, kおよび mを用いて表せ。また、物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
【香川大 改)

にント 52(2本のばねによる単振動)
=0 のとき原点を正の向きに通過 → このとき, 位置xは 0, 速度»は最大となる
時間を求めるときは単振動の周期Tを用いる。また, 円運動にもどって考えるとよい。
変位0のとき速さは最大,変位が最大(もしくは最小)のとき速さは0 となる。
)カ学的エネルギー保存則より,「運動エネルギーK+ 弾性力による位置エネルギーU=一定」 となる。
1)単振動の変位と速度を表す式は,振幅を A,初期位相を 0。とすると
x=Asin(wt+ O)
振幅はaであり,t=0 のとき x=0 であるから
0=AsinO。
x=asinot※A←
や※A 別解x-t図をかき,
関数を求めることもできる。
ひ= Awcos(ot+0o)
この運動のx-t図は
よって sin0。=0
より 0=0
x1
これより
a
0
ひ=ao cos ot※A←※B←
(2)単振動する物体Pの加速度αは α=-aw'sinwt*B←
の式を用いて整理すると α=ーe'x
また、物体Pの変位が×のとき,物体Pが受ける
力は図aより
F=-kx+(-kx)=-2kx※C←
+sin 型となるので
x=asinot
kx
kx
0000
同様に,ひーt 図は
0
X
X
図a
aの
0
(3) の式と、単振動の周期の式「T=2π,
m
」でK=2k だから,周期Tは
K
ーao
+cos 型で、vの最大値は aw
であるので
や※B 別解x=asinwt を
T=2πV 2k
m
=元
2m
2-
k
ひ=ao cosot
単振動は円運動の正射影であるから,物体Pが x=a
に達してから初めて原点Oを通過するまでの時間 toは
60°
tで微分して
90°
to=
360°
T=Tーチ
2m
4V k
dx
=ao cos aot
リ=
dt
4
ax
また,v=awcos wt を tで微
-a
O
1
1
また,初めてx=a を通過するまでの時間もは
図b24
分して
du
dt
Qミ
-=-aw?sinwt
60°
t=
360°
ア=-T※D←=
6
2m
6V k
π
や※C 合成ばねのばね定数
は2k となる。
(4)単振動において物体の速さが最大になるのは,振動中心(x==0) である。
このときの物体Pの速さは, ②式より
や※D ム=T ではな
U=aw
よって Ka-mu-m(ao)= mal)=→me. -he
2π
-ma'
1
2k
い。
ma’.
-= ka°
や※E 別解 カ学的エネルギ
ーが保存されているので
U最大=K最大= ka
また,振幅が最大である x=±aのとき,弾性力による位置エネルギーが最
大となる。よって
U最大そ2×
-ka’= ka*※E←
(5) 単振動しているとき力学的エネルギーは保存されるので,ある時
2k
刻tにおいて,変位x,速度oとすると(2×;kx"+
-mu=ka°
-a
V m
両辺を ka? でわると
a
2ka
m
a
0
ax
v?
よって +
=1
a
2々
a
m
|2k
a
m
これは,図cのようなだ円の式を表す。
また,物体Pは, t=0 においてx=0 を最大速度 v=aw で通過し,その後
はxが増えるにしたがって減速していく。よって, 矢印は図中の向きになる。
図c
ミ
ミ